Ámbito Científico-Tecnológico | Módulo III | Bloque 3 | Unidad 3
Las letras y los números: un cóctel perfecto
En esta unidad vas a comenzar el estudio del álgebra,
el lenguaje de las matemáticas. Vas a aprender a
utilizar las letras para trabajar con ellas como si fueran
valores conocidos.
Esta parte de las matemáticas es muy útil y enseguida
lo descubrirás. Ahora familiarízate con las expresiones
algebraicas en su conjunto, practica las operaciones
básicas que se pueden hacer con ellas y pronto verás
su utilidad.
¡Adelante!.
Índice
1. Expresiones algebraicas
Muchas veces en matemáticas tenemos que trabajar con valores desconocidos. En estos casos los números que no conocemos los representamos mediante letras y se llaman incógnitas. Estamos ante el álgebra (parte de las matemáticas que nos permite estudiar y trabajar con expresiones en las que aparecen números y letras relacionados con las operaciones matemáticas).
Cierto es que al principio cuesta un poco “traducir” enunciados del lenguaje escrito o hablado al algebraico, pero con un poco de práctica enseguida lo dominarás. Aquí tienes unos ejemplos en donde al número desconocido o incógnita lo representamos mediante la letra x.
Ejemplos:
Lenguaje hablado o escrito
Lenguaje algebraico
El doble de un número
2x
El triple de un número más 8 unidades
3x – 8
El quíntuplo de un número menos el doble de ese mismo número
5x – 2x
La tercera parte de un número
x/3
El producto de un número y su siguiente
x(x + 1)
Practica:
1 Escribe en lenguaje algebraico estos enunciados:
El triple de un número menos cinco unidades
Un número más su cuádruplo
La mitad de un número más la tercera parte del mismo número
La mitad de la suma de dos números distintos
El cuadrado de un número menos su tercera parte
2. Monomios
Un monomio es una expresión algebraica (consta de números y letras que se multiplican).
Tiene dos partes. El coeficiente o número y la parte literal o las letras.
Imagen: Matemáticas y Tecnología. Gobierno de Aragón
Ejemplos:
5x2
2xy3
4xy2z4
x3
3x
Grado de un monomio: Se llama grado de un monomio a la suma de los exponentes de la parte literal.
Ejemplo: -6x3y3z
Grado del monomio: 3+3+1 = 7 (la z tiene exponente 1)
Monomio
Grado
Coeficiente
Parte literal
5
2
x2y3
8
x8
4
-1
xyz2
3
3
x2y
Monomios semejantes son aquellos que tienen la misma parte literal.
Ejemplo: 2x2y y -7x2y son semejantes.
4x3 y 4x4 no son semejantes
Practica:
2 Completa la tabla:
Monomios
Grado
Coeficiente
Parte literal
-5x
6x2y3z2
-6/7x5z
8x5y6
x2
2.1. Operaciones con monomios
Suma y resta de monomios.
Para poder sumar o restar monomios, éstos han de ser semejantes. De esta manera, sumamos o restamos los coeficientes y dejamos la parte literal.
Ejemplos: 3x2y + 8x2y -5x2y = 6x2y
6x2 -5x2
+10x2 = 11x2
Recordatorio:
Repasa lo que has
Multiplicación de monomios
aprendido respecto
a la multiplicación y
Para multiplicar monomios procedemos de la siguiente forma: el división
de
coeficiente es la multiplicación de los coeficientes y la parte literal potencias con la
misma base. Te
será el producto de ambas partes literales (multiplicaremos las será muy útil ahora.
potencias de misma base).
Ejemplos: 3x • 7x = 3 • 7 • x • x = 21x2
5x • (−2 x3) = 5 • (−2) • x • x3 = −10 x4
4x2y3 • 6x3y3z = 4 • 6 • x2 • x3 • y3 • y3 • z = 24x5y6z
División de monomios
Para dividir monomios se hace de forma parecida a la multiplicación: el coeficiente es la división de los coeficientes y la parte literal será la división de ambas partes literales (dividiremos las potencias que tengan la misma base). Lo mejor es simplificar las expresiones algebraicas.
Ejemplos:
Practica:
3 Realiza estas operaciones con monomios:
5x2 – 7x2 =
2xy • 3xy4 =
(-4x2y2) : (-2x2y) =
8x2y3 + 2x2y3 =
(-5)x5 • (-4)x5 =
x8 : (-3x3) =
-x3y4 +3x3y4 =
2x2y3 • 4xy5z • 7x3z4 =
10x3y4z2 : 5xyz =
3. Polinomios
Un polinomio es una expresión algebraica compuesta por dos o más monomios. Se suelen escribir colocando sus términos ordenados por orden descendente de su grado.
Ejemplos: 5x3 – 2x2 + 4x + 8
8x6 + 5x4 - 3x2 + x
Grado de un polinomio: es el mayor grado de los monomios que lo componen.
El término independiente de un polinomio es el monomio de grado cero, es decir, el que no tiene letras
Ejemplos:
Polinomio
Grado
Término independiente
2x + 9
1
9
8x6 + 5x4 – 3x2 + x
6
No tiene
5x3 – 2x2 + 4x + 8
3
8
x10 – x4 – 9x2 + 7
10
7
Valor numérico de un polinomio: es el valor que se obtiene de sustituir la incógnita (letra) por el número correspondiente y realizar las operaciones.
Ejemplo: Calcula el valor numérico del polinomio P(x) = 5x3 – 2x2 + 4x + 8 para x = 1
Donde está la x, ponemos el valor 1
P(1) = 5 • 13 – 2 • 12 + 4 • 1 + 8
Hacemos las operaciones
5 – 2 + 4 + 8
El valor del polinomio P(x) para x = 1 es 15
15
Ejemplo: Calcula el valor numérico del polinomio P(x) = 5x3 – 2x2 + 4x +8 para x = -1
Donde está la x, ponemos el valor -1
P(-1) = 5 • (-1)3 – 2 • (-1)2 + 4 • (-1) + 8
Hacemos las operaciones
-5 - 2 - 4 + 8 = -3
El valor del polinomio P(x) para x = 1 es -3
-3
Practica:
4 Halla el valor numérico de P(x) = x3 - 2x2 + 6x - 3 para x = 2 ; x = -2 y x = 0
3.1. Operaciones con polinomios
Suma de polinomios
Para sumar dos o más polinomios, se agrupan los monomios semejantes y se simplifican.
Ejemplo: Vamos a sumar los polinomios P(x)= 9x3 – 6x – 10 y Q(x)= –12x3 + 2x2 + 8
Colocamos los polinomios enfrentando los
9x3
- 6x
-10
monomios semejantes.
-12x3
+2x2
+8
Sumamos
-3x3
+2x2
- 6x
- 2
Resta de polinomios
Antes de nada, debes saber a qué se llama opuesto de un polinomio. Es el que resulta de cambiar de signo todos sus monomios.
Ejemplo: El opuesto de P(x)= 9x3 – 6x – 10 es -P(x)= -9x3 +6x + 10
Pues bien, para restar polinomios, se suma al primero el opuesto del segundo.
Ejemplo: Vamos a restar los polinomios Q(x)= -12x3 + 2x2 + 8 menos P(x)= 9x3 - 6x - 10
Primero hallamos el opuesto de P(x).
-P(x) = -9x3 + 6x +10
Seguidamente sumamos Q(x) con el opuesto –P(x)
-12x3
+2x2
+8
como ya sabemos.
-9x3
+6x
+10
Sumamos.
-21x3
+2x2
+6x
+18
Practica:
5. Dados los polinomios:
P(x) = 3x2 – 3x + 3
Q(x) = x4 + 2x3 – x + 2
R(x) = -10x2 + x – 1
Haz las siguientes operaciones:
P(x) + Q(x) =
P(x) + R(x) =
Q(x) – P(x) =
P(x) – R(x) =
Multiplicación de polinomios
Para multiplicar dos polinomios, se multiplica cada monomio de uno por todos los demás del otro, y después se suman los polinomios obtenidos.
Ejemplo: vamos a multiplicar los polinomios P(x) = x2 + 2x - 3 y Q(x) = -3x2 - 2x – 5
Colocamos los polinomios uno arriba y otro debajo
x2
+2x
-3
-3x2
-2x
-5
Multiplicamos el -5 por los monomios de arriba y
-5x2
-10x
+15
colocamos en su sitio
Multiplicamos el -2x por los monomios de arriba y
-2x3
-4x2
+6x
colocamos en su sitio
Multiplicamos el -3x2 por los monomios de arriba y
-3x4
-6x3
+9x2
colocamos en su sitio
Sumamos los monomios semejantes
-3x4
-8x3
-4x
+15
Resultado final: -3x4 – 8x3 – 4x + 15
División de polinomios
Para dividir polinomios es necesario que el grado del polinomio dividendo sea mayor o igual que el grado del polinomio divisor. Hagamos un ejemplo despacio.
Ejemplo: vamos a dividir los polinomios P(x) = 4x2 + 2x - 14 y Q(x) = 2x – 5
Colocamos los polinomios para dividir
+4x2
+2x
-14
+2x
- 5
Dividimos el 1º monomio del dividendo (+4x2) por el 1º del
-4x2
+10x
+2x
+6
divisor (+2x) y nos da +2x (al cociente).
+2x se multiplica por los monomios del divisor (-5 y +2x) y los
resultados se colocan frente a sus semejantes cambiados de
--
+12x
-14
signo para restar. Resto y bajo el siguiente monomio (-14)
Repito el proceso: divido el primer monomio que tengo (+12x)
-12x
+30
entre el 1º del divisor (+2x) y nos da +6 que va al cociente
+6 se multiplica por los monomios del divisor (-5 y +2x) y los
--
16
resultados se colocan frente a sus semejantes cambiados de
signo para restar. Resto. Como no hay para bajar, se acabó la
división.
Por tanto, el resultado de la división de P(x) = 4x2 + 2x -14 entre Q(x) = 2x – 5 es 2x + 6 y de resto queda +16
Practica:
6. Dados los polinomios:
P(x) = 2x3 - 5x2 -14x + 10
Q(x) =2x + 3
Haz las siguientes operaciones:
P(x) • Q(x) =
P(x) : Q(x) =
4. Identidades notables
Una identidad es una igualdad algebraica que es cierta para cualquier valor de las letras (incógnitas) que se elijan.
Así por ejemplo 3x + 5x = 8x es una identidad porque si:
x = 1
3 • 1 + 5 • 1 = 8 • 1
3 + 5 = 8
8 = 8
x = 5
3 • 5 + 5 • 5 = 8 • 5
15 + 25 = 40
40 =40
x = -2
3 • (-2) + 5 • (-2) = 8 • (-2)
-6 – 10 = -16
-16 = -16
En este apartado vamos a ver las llamadas identidades notables, muy conocidas en matemáticas.
Cuadrado de la suma
“El cuadrado de una suma (a + b) es igual al cuadrado del primero (a) más el cuadrado del segundo (b), más el doble del primero por el segundo”.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Ejemplos:
Imagen: Matemáticas
y Tecnología.
( + 3)2 =
2 + 2 • 3 • + 32 =
2 + 6 + 9
Gobierno de Aragón
(2 + 4)2 =
(2x)2 + 2 • 2x • 4 + 42 =
4 2 + 16 + 16
Cuadrado de la diferencia
“El cuadrado de una diferencia (a - b) es igual al cuadrado del primero (a) más el cuadrado del segundo (b), menos el doble del primero por el segundo”.
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
Imagen: Matemáticas
y Tecnología.
Gobierno de Aragón
Ejemplos:
( - 3)2 =
2 - 2 • 3 • + 32 =
2 - 6 + 9
(3 - 5)2 =
(3x)2 + 2 • 3x • 5 + 52 =
9 2 - 30 + 25
Suma por diferencia
“El producto de la suma de dos monomios (a + b) por su diferencia
(a –b) es igual a la diferencia de los cuadrados de ambos monomios”.
(a + b) • (a - b) = a2 - b2
Ejemplos:
Imagen: Matemáticas
y Tecnología.
(x + 3) • ( - 3) =
Gobierno de Aragón
(4x + 2) • (4 - 2) =
Practica:
7. Resuelve estas identidades notables:
(5x + 5)2 =
(2x – 7)2 =
(2x + 2) • (2x – 2) =
(x + 10)2 =
(x – 1)2 =
(x +1) • (x – 1) =
Glosario
Álgebra: parte de las matemáticas que nos permite estudiar y trabajar con expresiones en las que aparecen números y letras relacionados con las operaciones matemáticas.
Monomio: es una expresión algebraica (consta de números y letras que se multiplican). Tiene dos partes: el coeficiente o número y la parte literal o letras.
Polinomio: es una expresión algebraica compuesta por dos o más monomios.
Identidad: es una igualdad algebraica que es cierta para cualquier valor de las letras (incógnitas) que se utilicen.
Actividades
1. Expresa en lenguaje algebraico:
a) El cuadrado de un número menos su triple.
b) El producto de dos números consecutivos.
c) La mitad de la suma de dos números.
d) Un número más su cuarta parte.
e) El cuadrado de la suma de dos números.
f) La suma de los cuadrados de dos números.
2. Indica el grado de los siguientes monomios y escribe uno semejante a cada uno.
a) −3
b) 2 4
c) 1/2 2
d) −5
3. Efectúa las operaciones y simplifica la expresión resultante:
a) 5 3 − 3 3 + 3 =
b) 7 2 − 4 + 2 − 3 2 =
c) 3 (-6 5) =
d) 2 y2(-xy2) =
4. Indica el grado y término independiente de los siguientes polinomios: a) 4 4 − 3 + 7 b) 3 + 2 2 − 4 + 1 c) 3 2 − 8
5. Calcula el valor numérico de 2 3 − 3 2 + − 6 para x = 0, x = 2 y x = -1
6. Dados los polinomios P( ) = 3 3 + 2 2 − 8 + 1 , ( ) = 3 − 5 + 7 y ( ) = − 4
Calcula:
a) P( ) + Q( ) =
c) P( ) − Q( ) =
b) Q( ) • R( ) =
d) Q( ) : R( ) =
7. Opera y simplifica:
a) (3 2 + 1) • ( − 2) − 4 • ( − 1) =
b) (9 + 3) • (2 2 − 5 + 4) − 6(3 3 + 2) =
8. Resuelve estas identidades notables:
a) (x + 8)2 =
b) (3x – 3)2 =
c) (4x + 2) • (4x – 2) =
d) (x - 10)2 =
e) (x + 1)2 =
f) (x + 9) • (x – 9) =
Soluciones a los practica
Practica 1
Practica 2
Monomios
Grado
Coeficiente
Parte literal
1
-5
x
7
6
x2y3z2
6
x5z
11
8
x5y6
2
1
x2
Practica 3
-2 x2
6x2y5
2y
10 x2y3
20x10
-1/3x5
2x3y4
56x6y8z5
2x2y3z
Practica 4
Para x = 2 P(x) = 9
Para x = -2 P(x) = -31
Para x = 0 P(x) = -3
Practica 5
P(x) + Q(x) = x4 + 2x3 + 3x2 – 4x + 5
P(x) + R(x) = -7x2 – 2x + 2
Q(x) – P(x) = x4 + 2x3 – 3x2 + 2x – 1
P(x) – R(x) = 13x2 – 4x + 4
Practica 6
P(x) • Q(x) = 4x4 – 4x3 – 43x2 – 22x + 30
P(x) : Q(x) = x2 – 4x – 1 Resto: 13
Practica 7
(5x + 5)2 = 25x2 + 50x + 25
(2x – 7)2 = 4x2 – 28x + 49
(2x + 2) • (2x – 2) = 4x2 -4
(x + 10)2 = x2 + 20x + 100
(x – 1)2 = x2 – 2x + 1
(x +1) • (x – 1) = x2 – 1
Bibliografía
Gobierno de Aragón. Matemáticas y Tecnología, módulo 3. Educación Secundaria para Personas Adultas. España. Gobierno de Aragón. 2011. 134 p.
Web: www.vitutor.com