Ámbito Científico-tecnológico | Módulo III | Bloque 3 | Unidad 4
Fácil, fácil, fácil. Pon una ecuación en tu vida
Siempre se ha dicho que las ecuaciones son muy
difíciles. Casi con pronunciar su nombre ya da miedo.
Pues no, verás que no es así. Realmente todo es más
fácil de lo que parece. Además, en la unidad anterior
ya has empezado a usar el lenguaje algebraico por lo
que ahora todo te resultará más sencillo, ¡seguro!
Las ecuaciones son una herramienta fundamental en
la resolución de muchos problemas y situaciones
matemáticas que se te pueden plantear en la vida
diaria, así que no lo dudes más y …
¡Adelante!
Índice
2
1. ¿Qué es una ecuación?
La respuesta a esta pregunta sería: una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas; por tanto, ha de tener siempre el signo =. Y que, además, se cumple para algunos valores de las letras.
Esto es una ecuación: 9x + 12 = 30
y esta es otra:
2x + 10 = 5x – 5
Una ecuación consta de dos miembros separados por el signo =.
Primer miembro
Segundo miembro
Primer miembro
Segundo miembro
9x + 12 =
30
2x + 10 =
5x – 5
Y dentro de cada miembro habrá uno o varios términos.
A la letra (número que andamos buscando) la llamamos incógnita. En nuestras ecuaciones la incógnita es la x.
Ecuaciones e identidades
Cuando estamos ante expresiones algebraicas separadas por el signo = hablamos de igualdades algebraicas en términos generales. Existen dos tipos de igualdades algebraicas: las ecuaciones y las identidades.
Una ecuación es una igualdad algebraica que tiene finitas soluciones.
Ejemplo:
Sea la igualdad
3x + 2 = 11
Sólo se cumple para el valor x = 3
3 • 3 + 2 = 11
9 + 2 = 11
11 = 11
Es una ecuación porque solo x = 3
Una identidad es una igualdad algebraica que tiene infinitas soluciones.
Ejemplo:
Sea la igualdad
2•(x + 4) = 2x + 8
Se cumple para el valor x = 3
2•(3 + 4) = 2 • 3 + 8
2 • 7 = 6 + 8
14 = 14
También para el valor x = 5
2•(x + 4) = 2x + 8
2•(5 + 4) = 2 • 5 + 8
2 • 9 = 10 + 8
18 = 18
Puedes probar otro valor si quieres, la
igualdad siempre se cumple
Por tanto, tiene infinitas soluciones, es una identidad.
3
Practica:
1 Di si son ecuaciones o identidades estas igualdades algebraicas:
a) x + 5 = 9
b) 2x + 3 = 12 – x
c) 3(3 – x) = 9 – x
d) 10x + 10 = 3x + 7x + 7 + 3
2. Ecuaciones de primer grado
Antes de comenzar, debemos saber qué es el grado de una ecuación porque en esta unidad vamos a tratar tan solo de las de primer grado.
El grado de una ecuación coincide con el exponente más alto al que está elevada la incógnita.
Diremos que la ecuación es de primer grado cuando la incógnita tiene exponente 1; de segundo grado, si tiene exponente 2, y así sucesivamente.
Ejemplos:
5x + 3 = 2x + 10
Ecuación de primer grado
5x + 3 = 2x2 + 10
Ecuación de segundo grado
5x3 + 3 = 2x2 + 10
Ecuación de tercer grado
5x2 + 3 = 2x4 + 3x2 + 10
Ecuación de cuarto grado
2.1 Resolver una ecuación de primer grado
Resolver una ecuación de primer grado es hallar el valor de la incógnita (x). No es difícil pero debemos seguir unos sencillos pasos para no equivocarnos.
Ejemplo:
Sea la ecuación
5x – 4 = 2x + 8
1.- Colocaremos todas las incógnitas en un miembro y todos los
números en el otro. Cuando las incógnitas o los números
cambien de miembro, también cambian de signo.
2.- Realizamos las operaciones correspondientes.
3.- Si la incógnita está multiplicada por un número, éste pasará
al otro miembro dividiendo. Si la división es exacta, se coloca el
resultado y en caso contrario, se deja en forma de fracción.
4.- Resultado
Ejemplo:
Sea la ecuación:
2x – 17 = -14x
1.- Colocaremos todas las incógnitas en un miembro y todos los
números en el otro. Cuando las incógnitas o los números
cambien de miembro, también cambian de signo.
4
Fíjate en el -14x y en el -17.
2.- Realizamos las operaciones correspondientes.
16x = 17
3.- Si la incógnita está multiplicada por un número, éste pasará
17
al otro miembro dividiendo. Si la división es exacta, se coloca el
x =
resultado y en caso contrario, se deja en forma de fracción.
16
4.- Resultado
Ampliación: El poder hacer estos sencillos pasos en la resolución de una ecuación es lo que se conoce con el nombre de despejar la incógnita. Si podemos pasar de un miembro a otro y viceversa es porque una ecuación no varía si se le suma o resta el mismo monomio a ambos miembros de la ecuación. Ejemplo:
Sea la ecuación
3x – 12 = 24 - x
1.- Sumo a ambos miembros de la ecuación los
3x – 12 + 12 = 24 – x + 12
monomios +12
2.- Hago las operaciones (-12 +12 se van) y queda
3x = 24 – x + 12
3.- Repito el proceso y sumo a los dos miembros +x
3x + x = 24 – x + 12 + x
4.- Hago las operaciones (-x + x se van) y queda
3x + x = 24 + 12
5.- Si te fijas, verás que es como si hubieras pasado el
4x = 36
-12 al otro miembro cambiado de signo, lo mismo que –x
Lo mismo sucede para multiplicar. El número que
36
multiplica a la incógnita pasa al otro miembro dividiendo y
x =
= 9
4
viceversa
Practica:
2
Resuelve estas sencillas ecuaciones de primer grado:
a) x + 1 = 9
b) 4x + 5 = 10 – x
c) 3x + 8 – x = 9 – 3x + 3
d) 10x + 21 = 3x
Resolver ecuaciones con paréntesis.
Cuando te encuentres paréntesis en las ecuaciones, lo primero que tienes que hacer es resolverlos y después continuar con la ecuación como has visto en el apartado anterior.
Ejemplo:
Sea la ecuación:
5(x – 4) = 2(x + 8)
1.- Resolvemos los paréntesis. En el primero de ellos, el 5
multiplica a todo lo que hay dentro del paréntesis (x – 4) y en el
segundo caso, es el 2 el que multiplica a (x + 8).
2.- Colocaremos todas las incógnitas en un miembro y todos los
números en el otro. Cuando las incógnitas o los números
cambien de miembro, también cambian de signo.
3.- Realizamos las operaciones correspondientes.
5
3.- Si la incógnita está multiplicada por un número, éste pasará
al otro miembro dividiendo. Si la división es exacta, se coloca el
resultado y en caso contrario, se deja en forma de fracción.
4.- Resultado
Practica:
3
Resuelve estas sencillas ecuaciones de primer grado con paréntesis:
a) 5(x + 1) = 20
b) 4(x + 5) = 2(10 – x) + 12
c) 3(x + 8) – x = 9 – 3(x + 3)
d) 10x + 2(x – 20) = 3x
Resolver ecuaciones con fracciones.
Recordatorio:
Si las anteriores no te han parecido difíciles, éstas tampoco lo son,
Repasa
todo
lo
Eso sí, requieren un poco más de cuidado para no equivocarnos a
relativo a la suma,
resta, multiplicación y
la hora de ir despejándola poco a poco.
división de fracciones.
Te será
muy
útil
Vamos a hacer unos ejemplos explicándolos muy despacio para
ahora.
que lo entiendas bien y rápidamente.
Ejemplo:
Sea la ecuación:
1.- Tiene de denominadores 4 y 3. Tenemos que reducir ambas
fracciones a común denominador. Hallamos el m.c.m.(4 y 3) = 12,
que será el denominador común.
2.- Calculemos los denominadores. El denominador común (12)
se divide por el denominador antiguo (12 : 4 = 3) y el resultado
se multiplica por el denominador antiguo 3 • x = 3x Y así, la otra
fracción.
3.- Eliminamos los denominadores.
4.- Ahora es una ecuación de primer grado con paréntesis.
Resolvemos como lo hacíamos antes.
5.- Continuamos resolviendo
6.- Hacemos las operaciones correspondientes
7.- Si la incógnita está multiplicada por un número, éste pasará al
otro miembro dividiendo. Resolvemos
8.- El resultado es
Ejemplo:
Sea la ecuación:
6
1.- Tiene de denominadores 2, 5 y 1 (por el 3). Tenemos que
reducir las fracciones a común denominador. Hallamos el m.c.m.
(2, 5 y 1) = 10, que será el denominador común.
2.- Calculemos los denominadores. El denominador común (10)
se divide por el denominador antiguo (12 : 2 = 5) y el resultado
se multiplica por el denominador antiguo 5 • x = 5x Y así, las
otras fracciones.
3.- Eliminamos los denominadores.
4.- Ahora es una ecuación de primer grado. Resolvemos como lo
hacíamos antes.
5.- Si la incógnita está multiplicada por un número, éste pasará al
otro miembro dividiendo. Resolvemos y simplificamos.
6.- El resultado es
Practica:
4
Resuelve estas sencillas ecuaciones de primer grado con fracciones:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
PLS sept .2011
2.2 Resolver sencillos problemas de ecuaciones de primer grado
Ha llegado la parte quizás, un poco más compleja de las ecuaciones y no es porque sea difícil, sino porque tenemos que saber “traducir” el lenguaje escrito de un problema al lenguaje algebraico. La resolución posterior es muy sencilla porque las ecuaciones resultantes suelen ser básicas.
Vamos a seguir unos breves pasos a la hora de resolver un problema
mediante una ecuación.
1. Lee el problema despacio y con atención. Si hace falta dos
veces, pues dos veces.
2. Comprende el enunciado identificando los datos conocidos,
los desconocidos y por lo que se pregunta.
3. Decide a qué dato desconocido vas a asignarle la incógnita
(x).
4. Traduce el lenguaje del problema a lenguaje algebraico.
Imagen 1. Incógnita
Plantea la ecuación
7
5. Resuelve la ecuación.
6. Comprueba que el resultado es correcto.
Qué te parece si antes de ver algún ejercicio resuelto practicamos la traducción a lenguaje algebraico de texto escrito para que te vayas acostumbrando a ello.
Ejemplo:
El doble de un número
La tercera parte de un número
Un número menos veinte
La suma de dos números pares
El triple de un número más su mitad
El quíntuplo de un número menos 10
El 80% de un número
.
No ha sido tan difícil, ¿verdad? Practica un poco.
Practica:
5
Escribe en forma de lenguaje algebraico estas expresiones:
b) La cuarta parte de un
a) El triple de un número
número
c) La suma de dos números
d) El doble de un número
impares
más veinte
e) La mitad de un número
f) La suma de tres números
menos su doble
consecutivos
Ahora vamos a ver algunos ejercicios resueltos de problemas de ecuaciones de primer grado.
Fíjate bien.
Ejemplo:
“El doble de un número más el triple del mismo número es igual a 35. ¿De qué número se trata?”
1.- Leemos el problema con atención y lo comprendemos
2.- Datos conocidos: doble y triple de un número. La suma de
ambos es 35
3.- La incógnita (x) será el número desconocido
x = número buscado
4.- Traducimos al lenguaje algebraico: doble (2x) y triple (3x).
Planteamos la ecuación
8
5.- Resolvemos
Respuesta: el número es 7.
6.- Comprobamos que es la solución correcta
Ejemplo:
“Una persona consigue ahorrar 150€ más que otra en un mes. Si entre ambas han conseguido tener 250€. ¿Cuánto ha ahorrado cada una de ellas?”
1.- Leemos el problema con atención y lo comprendemos
2.- Datos conocidos: dos personas. Uno ahorra 150€ más que
la otra y entre ambas tienen 250€
3.- La incógnita (x) será la cantidad ahorrada menor.
x = número buscado
4.- Traducimos al lenguaje algebraico: una cantidad ahorrada
(x) y otra con 150€ más (x + 150) es el ahorro total (250).
5.- Resolvemos
Respuesta: la menor cantidad ahorrada es 50.
La mayor cantidad ahorrada es 200
6.- Comprobamos que es la solución correcta
Practica:
6
Resuelve estos sencillos problemas:
a) El doble de un número menos 8 es 16. ¿De qué número se trata?
b) Un campo de baloncesto mide el doble de largo que de ancho. ¿Qué
medidas tendrán sus lados si el perímetro es de 78 m.?
c) Si la tercera parte de un número más la cuarta parte del mismo número es 35. ¿De qué número se trata?
d) La suma de dos números consecutivos es 257. ¿Qué números son?
9
Problemas de edades
Muchas veces nos plantean acertijos con las edades
de los componentes de una familia. Tras darle vueltas
y vueltas a la cabeza para intentar llegar a la
solución, al final lo conseguimos o por el contrario nos
rendimos.
Pues bien, con las ecuaciones de primer grado se
resuelven muy bien y de forma sencilla. Ahora que ya
tienes un poco de experiencia en las ecuaciones, esto
Imagen 2. Problemas de edades. INTEF
nos va a resultar fácil. Hagamos un ejemplo.
Ejemplo:
“Hoy en día un padre tiene 20 años más que su hija. Dentro de 10 años, el padre tendrá el doble de edad que la hija. ¿Cuál es la edad del padre y de la hija?”
1.- Leemos el problema con atención y lo comprendemos
2.- Datos conocidos: dos personas. El padre tiene hoy 20 años más que la hija y dentro de 10
años, la edad será el doble.
3.- Los problemas de edades se resuelven estupendamente con un cuadro resumen. Veamos.
Padre
Hija
4.- La incógnita (x) será la edad
menor. Empezamos en la actualidad,
Hoy
así por tanto la hija tiene (x) y el padre
(20 + x)
5.- Dentro de 10 años, la hija tendrá
(x + 10) y el padre (20 + x + 10)
Dentro de 10 años
porque el tiempo pasa para los dos.
Pero también dentro de 10 años, la
edad del padre será el doble de la de
Dentro de 10 años
la hija.
6.- Y ya tenemos la ecuación
planteada y resolvemos
7.- Resolvemos
Respuesta: la hija tiene 10 años y el
padre, 30
8.- Comprobamos que es la solución
Padre
Hija
correcta
10
Hoy
Dentro de 10 años
Y la edad del padre (40 años) es el doble de la de la hija (20 años).
Practica:
7
Resuelve estos sencillos problemas:
a) ¿Qué edad tiene Rosa sabiendo que dentro de 56 años tendrá el quíntuplo de su edad actual?
b) La suma de las edades de tres hijos es igual a la edad de su madre. Si la madre tiene 48 años, y cada uno de los hijos tiene 2 años más que el anterior, ¿cuáles son sus edades?
c) Las edades de Juan, Carmela y Rosa suman 39 años. Carmela tiene cinco
años menos que Juan y dos más que Rosa. ¿Cuál es la edad de cada uno?
d) Un padre tiene 47 años y su hijo, 11. ¿Cuántos años han de transcurrir para que la edad del padre sea triple que la del hijo?
Glosario
Ecuación: es una igualdad entre dos expresiones algebraicas.
Identidad: es una igualdad algebraica que tiene infinitas soluciones.
Grado: el grado de una ecuación coincide con el exponente más alto al que está elevada la incógnita.
Actividades
1. Resuelve:
a) 3x – 10 = 16 + x
b) 3x – 10 = 8x – 30
c) 5 – 5x = 5 + 5x
d) 5 – 5x = 10 – 5x
2. Resuelve:
a) 3x – 2 (x+3) = x – 3 (x+1)
b) 2x + 8 – 2(x + 1) = 3(x + 3)
c) 2(x – 3) +1 = 3(x – 1) – (2 + x)
3. Resuelve:
a)
b)
4. Busca las soluciones a estos problemas
a) Si al doble de un número se le resta su mitad resulta 54. ¿Cuál es el número?
11
b) Busca tres números consecutivos cuya suma sea 78
c) Un rectángulo tiene de base 5 cm más que de altura. Sabiendo que su perímetro es de 50 cm, calcula las dimensiones del rectángulo.
d) Un padre de 43 años tiene dos hijos de 9 y 11 años. ¿Cuántos años han de transcurrir para que entre los dos hijos igualen la edad del padre?
e) He pagado 10 € por dos bolígrafos, un cuaderno y una carpeta. Si el precio de la carpeta es 5 veces el del cuaderno y éste cuesta 1€ más que el bolígrafo, ¿cuál es el precio de cada artículo?
f) Roberto tiene 18 años más que Felipe y hace tres años tenía el doble. Calcula las edades de cada uno
g) Reparte 175€ entre dos personas de manera que la parte de la primera sea 2/5 de la parte de la segunda.
h) ¿Cómo repartirías 9797€ entre 4 personas, Marta, Javier, Elisa y Carlos, si Javier recibe la mitad que Marta, Elisa un tercio que Javier, y Carlos la décima parte que Elisa?
i)
En una reunión hay doble número de mujeres que de hombres y triple número de niños que de hombres y mujeres juntos. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños hay si la reunión la componen 96 personas?
Soluciones a los practica
Practica 1
a) x = 4
b) x = 3
c) Identidad
d) Identidad
Practica 2
a) x = 8
b) x = 1
c)
d) x = -3
Practica 3
a) x = 3
b) x = 2
c)
d)
Practica 4
a) x = 10
b) x = 2
c) x = 6
d)
e)
f) x = 5
Practica 5
a) 3x
b)
12
c) x + x + 2
d) 2x + 20
e)
f) x + x +1 + x + 2
Practica 6
b) x + x + 2x +2x = 78 x = 13 m. ancho y 26 m. el
a) 2x -8 = 16 x = 12
largo
c)
= 35 x = 60
d) x + x + 1 = 257 x = 128 y el siguiente es 129
Practica 7
a)
Hoy
Dentro de 56 años
1.- La incógnita (x) será la edad
menor. Empezamos en la actualidad,
Rosa
x
x + 56
así por tanto Rosa tiene (x)
2.- Dentro de 56 años, la edad de
Dentro de 56
Rosa será cinco veces mayor que la
años ocurrirá
x + 56 = 5x
de ahora.
que
3- Y ya tenemos la ecuación
4.- Resolvemos
x – 5x = - 56
Respuesta:
x = 14
b)
Hijo menor
Hijo 2
Hijo 3
Madre
1.- La incógnita (x) será la edad del
hijo menor. El siguiente dos años más
x
x + 2
x + 4
48
(x + 2) y el siguiente (x + 4)
3- Y ya tenemos la ecuación
x + x + 2 + x + 4 = 48
4.- Resolvemos
3x = 48 - 4
3x = 42
Respuesta:
x = 14
c)
Juan
Carmela
Rosa
1.- La incógnita (x) será la edad de Juan. Carmela
tiene 5 años menos (x – 5) y Rosa 2 años menos que
x
x - 5
x - 7
Carmela (x – 7).
2- Y ya tenemos la ecuación
x + x - 5 + x - 7 = 39
3.- Resolvemos
3x = 39 + 5 + 7
3x = 51
13
Respuesta:
Juan = 17
Carmela = 12
Rosa = 10
d)
Padre
Hijo
1.- La incógnita (x) será los años que tiene
Rosa
47
11
que transcurrir.
2.- Dentro de x años, el padre tendrá 47 + x
Dentro de x años
y el hijo 11 + x. Y en ese momento la edad
47 + x
11 + x
ocurrirá que
del padre será triple de la del hijo
3- Y ya tenemos la ecuación
47 + x =3(11 + x)
4.- Resolvemos
47 + x = 33 + 3x
x – 3x = 33 - 47
-2x = - 14
Respuesta:
x = 7
Bibliografía
Gobierno de Aragón. Matemáticas y Tecnología, módulo 3. Educación Secundaria para Personas Adultas. España. Gobierno de Aragón. 2011. 134 p.
INTEF (Instituto Nacional de Tecnologías Educativas y Formación del Profesorado).
Web: http://recursostic.educacion.es/bancoimagenes/web/
14