Ámbito Científico-Tecnológico| Módulo III | Bloque 3 | Unidad 5
Las letras y los números, un cóctel perfecto (2)
Ahora que ya sabes resolver ecuaciones, nos
adentramos en los sistemas de ecuaciones
donde vamos a trabajar con dos ecuaciones
y dos incógnitas a la vez.
A primera vista parece muy complicado pero
verás que con los métodos de resolución que
existen, esto está “chupado”.
En breve presumirás de tus logros.
¡Adelante!
Índice
2. Resolución gráfica de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas ............... 6
2
1. Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas
Hasta ahora has visto ecuaciones de primer grado y cómo resolverlas. A diario se nos plantean situaciones en las que desconocemos más de una incógnita por lo que se nos hace necesario tener una forma de “salir del atol adero”. Para ello existen los sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Se trata por tanto, de buscar dos valores desconocidos a los que nombraremos con la letras x e y; que son las más usadas en este tipo de situaciones.
Se llama ecuación lineal con dos incógnitas a una ecuación de la forma ax + by = c en donde las letras a, b y c son números. Ejemplo: 6x + 3y = 9
2x – 5y = 12
Diremos que un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas está formado por dos ecuaciones de las anteriormente citadas.
Ejemplos:
Recordatorio:
A hora
buscaremos la solución de
2x – 3y = 9
x + y = 20
las dos incógnitas (x,y) y
no podemos hallar una y
5x + 2y = 32
x – y = 10
dejar la otra sin resolver.
¡Que no se te olvide!
1.1 Resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas existen tres métodos: sustitución, igualación y reducción. Da igual el método que elijas para la resolución porque el resultado siempre será el mismo.
Método de sustitución
El nombre de este método nos da una idea de lo que vamos a realizar en el sistema de ecuaciones, sustituir. El proceso para la resolución sería el siguiente: Despejar una incógnita en
Sustituir su valor en
Resolver la ecuación
una ecuación
la otra ecuación
resultante
Ejemplo:
Resolvamos el siguiente sistema de ecuaciones :
1.-Despejamos la y en la segunda ecuación por ejemplo.
2.-Sustituimos el valor de la y en la primera ecuación.
3.-Resolvemos la ecuación resultante.
3
4.- Una vez conocido el valor de la x, sustituimos ese
número por la x donde se había despejado la y (paso 1).
Por tanto, las soluciones a nuestro sistema de ecuaciones
son:
Método de igualación
También este nombre nos informa de lo que vamos a realizar, igualar las dos ecuaciones.
El proceso para la resolución del sistema de ecuaciones sería el siguiente: Despejar la misma
Igualar las dos
Resolver la ecuación
incógnita en las dos
expresiones
resultante
ecuaciones
obtenidas
Ejemplo:
Resolvamos el siguiente sistema de ecuaciones :
1.-Despejamos la x en ambas ecuaciones.
(1)
(2)
2.- Igualamos las dos expresiones obtenidas.
3.- Resolvemos la ecuación resultante.
4
4.- Sustituimos el valor de la y en la expresión (1) por
ejemplo. Da igual que lo hubiéramos hecho en la (2).
Por tanto, las soluciones a nuestro sistema de ecuaciones
son:
Método de reducción
De igual forma que en los casos anteriores, este nombre nos dice que vamos a reducir el sistema a una sola ecuación. El proceso para la resolución sería el siguiente: Igualar los coeficientes de
una incógnita en ambas
Sumar ambas
Resolver la
ecuaciones pero con
ecuaciones
ecuación resultante
signo distinto
Ejemplo:
Resolvamos el siguiente sistema de ecuaciones :
1.-Elegimos una incógnita para lograr que sus coeficientes
tengan el mismo valor numérico pero de signo opuesto, Por
ejemplo la x.
2.- Multiplicamos la primera ecuación entera por un número
(+3) y la segunda ecuación por otro número (-2) con el fin de lograr lo apuntado en el punto 1.
3.- Si te fijas en la incógnita x, el coeficiente en ambas
ecuaciones es el mismo valor numérico pero de signos
opuestos. Lo que buscábamos.
4.- Sumamos ambas ecuaciones.
5.- Resuelvo la ecuación resultante.
6.- Sustituimos el valor de la y en cualquiera de las
ecuaciones y despejamos. Por ejemplo en la (1).
5
Por tanto, las soluciones a nuestro sistema de ecuaciones
son:
Hasta aquí los tres métodos de resolución de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Los tres son fáciles o menos fáciles, eso depende de cada uno. Elige el que sea más conveniente en cada momento y resuélvelo con mucho cuidado. Y una cosa más, sería conveniente que hicieras la comprobación de los resultados una vez que has resuelto la ecuación o el sistema de ecuaciones para asegurarte que no te has equivocado.
Practica:
1
Resuelve estos sencillos sistemas de dos ecuaciones con dos
incógnitas:
a)
9x + 5y = 96
b)
2x – 3y = 1
2x – 10y = 10
3x + 2y = 8
c)
2x – 3y = - 20
d)
x + 6y = - 58
-7x +4y = 44
3x – 10y = 50
e)
3x – 2y = - 11
f)
-5x + 8y = - 25
- 5x – 10y = 45
5x – 6y = 25
Ve alternando los métodos de resolución (sustitución, igualación y reducción).
2. Resolución gráfica de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas
Una ecuación de primer grado con dos incógnitas puede representarse en los ejes de coordenadas mediante una línea recta (de ahí la palabra lineal que aparece en la unidad que estamos estudiando). Todos los puntos que conforman la recta son los valores que toman tanto la x como la y para que la ecuación se cumpla. Esto es, los valores de la x y de la y son las soluciones a nuestra igualdad.
En un gráfico podrás verlo con más claridad.
Ejemplo:
Representemos gráficamente las ecuaciones: 2x + y = 4
e
x – y = -1
6
Ecuación 2x + y = 4 Primero hacemos la
Ecuación x – y = -1 Primero hacemos la
tabla de valores:
tabla de valores:
Valores de x
Valores de y
Valores de x
Valores de y
3
3
2
2
1
1
0
0
-1
-1
-2
-2
-3
-3
En segundo lugar representamos gráficamente
ambas ecuaciones lineales en un eje de
coordenadas.
Vemos que el punto de corte de ambas líneas es el
punto A(1,2), en donde 1 es el valor para la x y 2
es el valor para la y.
Por tanto x = 1 y = 2
Solución a nuestro sistema de ecuaciones:
x = 1 y = 2
Imagen. Representación gráfica. Aragón
Acabamos de resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas de forma gráfica. Ahora tú.
Practica:
2
Resuelve gráficamente estos sistemas de dos ecuaciones con dos
incógnitas:
a)
x + y = 5
b)
2x – y = -2
x - y = 1
x + y = 8
7
3. Discusión de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas
Discutir sobre un sistema de ecuaciones consiste en decir si el sistema tiene solución o no, y en caso afirmativo, determinar si es una o infinitas. Ahora que ya sabemos resolver sistemas de ecuaciones mediante una representación gráfica, este método es el más sencillo para dilucidar si tiene una o infinitas soluciones.
1. Si las rectas son secantes, tiene un
punto en común y por tanto el sistema
de ecuaciones tiene una única
solución.
Estamos ante un sistema compatible
determinado.
2. Si las rectas son paralelas, no tienen
ningún punto en común y por tanto el
sistema tiene infinitas soluciones.
Estamos ante un sistema compatible
indeterminado.
3. Si las rectas son coincidentes, todos
Imagen. Representación gráfica. Aragón
sus puntos son comunes y por tanto el
sistema no tiene solución.
Estamos ante un sistema incompatible.
Practica:
3
Resuelve gráficamente estos sistemas de dos ecuaciones con dos
incógnitas y discute cómo son:
a)
x + y = 2
b)
2x + 2y = 14
x - y = 2
x + y = 7
c)
3x – 15y = 12
d)
5x + 7y = 13
x – 5y = 8
3x – 2y = 0
8
4. Resolver problemas con sistemas de ecuaciones
Ahora que ya sabemos resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas por tres métodos y gráficamente, vamos a aplicar lo visto a la resolución de problemas, tarea que no es complicada siempre que sigamos los siguientes pasos:
1. Leer el problema con atención.
2. Decidir cuáles serán las incógnitas.
3. Traducir el texto a lenguaje algebraico.
4. Planteamos el sistema de ecuaciones y resolvemos.
5. Comprobar las soluciones.
Ejemplos:
El triple de un número más el cuádruplo de otro es 37 y el segundo más el doble del primero es 18. ¿Cuáles son esos números?
Una vez leído el problema con atención, vamos a
Tenemos dos números, el primero al
decidir cuáles serán las incógnitas.
que llamaremos x, y el segundo, y
Traducimos a lenguaje algebraico el problema:
Triple de un número
Cuádruplo de otro (el segundo)
El segundo
El doble del primero
Ahora planteamos el sistema de ecuaciones
Ordenamos la segunda ecuación
Resolvemos por sustitución, por ejemplo. Despejo la y
en la segunda ecuación
Y sustituyo en la primera
Resuelvo
Hallemos ahora la y. Para ello pongo el valor de la
=7
en la expresión del despeje
Las soluciones son
Por último, comprobamos las soluciones
Sustituimos los valores de las incógnitas en la primera
ecuación
Se cumple
Ahora hacemos lo mismo para la segunda ecuación
Se cumple
9
He comprado 5 kg de manzanas y 2 kg de plátanos por 14,20€. Más tarde, he vuelto a comprar en la misma frutería 4 kg de manzanas y 3 kg de plátanos por 14,80€. ¿Cuál es el precio de cada kg de fruta?
Tras leer el problema, decidamos las incógnitas
Al precio de las manzanas las llamaremos
Al precio de los plátanos le llamaremos
Traducimos a lenguaje algebraico el problema:
Coste de las manzanas en el primer caso
Coste de los plátanos en el primer caso
Coste de las manzanas en el segundo caso
Coste de los plátanos en el primer caso
Ahora planteamos el sistema de ecuaciones
Resolvemos el sistema por reducción por ejemplo
Elijo la incógnita x.
Multiplico a la primera por 4.
Multiplico a la segunda ecuación por (-5)
Resolvemos
Sumamos las ecuaciones
Calculemos el precio de las manzanas. Para ello
sustituimos el valor de los plátanos en la primera
ecuación, por ejemplo.
Las soluciones son
Por último, comprobamos las soluciones
Sustituimos los valores de las incógnitas en la primera
ecuación
Se cumple
Repetimos para la segunda ecuación
Se cumple
10
Glosario
Ecuación lineal con dos incógnitas: es una ecuación de la forma ax + by = c en donde las letras a, b y c son números.
Sistema compatible determinado: es un sistema de ecuaciones que tiene una sola solución.
Sistema compatible indeterminado: es un sistema de ecuaciones que tiene infinitas soluciones.
Sistema incompatible: es un sistema de ecuaciones que no tiene soluciones.
Actividades
Actividad 1
Haz estos sistemas de ecuaciones de dos incógnitas alternando los tres métodos de resolución:
Actividad 2
Comprueba si es correcta o no la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones: Actividad 3
Resuelve gráficamente estos sistemas de ecuaciones:
Actividad 4
Discute la solución en estos sistemas de ecuaciones:
11
Actividad 5
Resuelve los siguientes problemas:
1. En un aparcamiento hay 55 vehículos entre coches y motos. Si el total de ruedas es de 170. ¿Cuántos coches y cuántas motos hay?
2. Dos kilos de plátanos y tres de peras cuestan 7,80 euros. Cinco kilos de plátanos y cuatro de peras cuestan 13,20 euros. ¿A cómo está el kilo de plátanos y el de peras?
3. En un corral hay gallinas y conejos. En total hay 14 cabezas y 38 patas. ¿Cuántas gallinas y cuántos conejos hay en el corral?
4. He comprado una “tablet” y me ha costado 105 euros. Lo he pagado con 12 billetes de dos tipos, de 5 euros y de 10 euros. ¿Cuántos billetes de cada clase he entregado?
5. El perímetro de un rectángulo es 64cm y la diferencia entre las medidas de la base y la altura es 6cm. Calcula las dimensiones de dicho rectángulo.
6. Calcula dos números cuya suma sea 191 y su diferencia 67.
7. En el aula de 3º A hay doble número de alumnos que en el aula de 3ºB. Además se sabe que si se pasan 8 alumnos de 3º A a 3ºB ambas aulas tendrán el mismo número de alumnos. ¿Cuántos alumnos hay en cada aula?
8. Tenemos dos grifos A y B. Si abrimos el grifo A durante 3 minutos y el grifo B durante 1
minuto, salen en total 50 l de agua. Si en cambio abrimos el grifo B durante 2 minutos y el A durante 1 minuto, entonces salen en total 40l. ¿Cuántos litros de agua arroja cada grifo en 1 minuto?
9. En un examen tipo test de 30 preguntas se obtienen 0,75 puntos por cada respuesta correcta y se restan 0,25 por cada error. Si un alumno ha sacado 10,5 puntos
¿Cuántos aciertos y cuántos errores ha cometido?
10. Seis camisetas y cinco gorras cuestan 227 euros. Cinco camisetas y 4 gorras cuestan 188 euros. Halla el precio de una camiseta y de una gorra.
Soluciones a los practica
Practica 1
Resolveremos este sistema por el
a)
método de sustitución
Despejamos a x en la segunda ecuación
Sustituimos el valor de la x en la primera ecuación
Resolvemos la ecuación resultante
12
Sustituimos el valor de la y donde se había
despejado la x.
As soluciones son
b)
Resolveremos este sistema por el
método de igualación
Despejamos la x en ambas ecuaciones
(1)
(2)
Igualamos las dos expresiones obtenidas
Resolvemos la ecuación obtenida
Sustituimos el valor de la y en la expresión (1)
Las soluciones son
c)
Resolveremos este sistema por el
método de reducción
Elegimos una incógnita para lograr que sus
coeficientes tengan el mismo valor numérico pero
de distinto signo. La y en este caso
Multiplico la primera ecuación por (+4) y la
segunda por (+3)
3.
Sumamos ambas ecuaciones
13
Sustituimos el valor de la x en cualquiera de las
ecuaciones y despejamos. Por ejemplo en la (1)
Las soluciones son
d)
e)
Lo resolvemos por sustitución
Lo resolvemos por reducción
Ahora resolveremos la y
Ahora resolveremos la x
f)
Lo resolvemos por reducción
Ahora resolveremos la x
14
Practica 2
a)
Ecuación x + y = 5
Ecuación x – y = 1
Hacemos la tabla de valores:
Hacemos la tabla de valores:
Valores de x
Valores de y
Valores de x Valores de y
3
3
2
2
1
1
0
0
-1
-1
-2
-2
-3
-3
Representamos gráficamente ambas ecuaciones lineales en un eje de coordenadas.
b)
Ecuación 2x - y = -2
Ecuación x + y = 8
Hacemos la tabla de valores:
Hacemos la tabla de valores:
Valores de
Valores de y
Valores de x Valores de y
x
3
3
2
2
1
1
0
0
-1
-1
-2
-2
-3
-3
15
Representamos gráficamente ambas ecuaciones lineales en un eje de coordenadas.
Practica 3
a)
Rectas secantes: se cortan en un punto. Es un sistema compatible determinado.
16
b)
Rectas coincidentes. Sistema incompatible.
c)
Rectas paralelas, no tienen ningún punto en común. Sistema compatible indeterminado.
d)
Rectas secantes: se cortan en un punto. Es un sistema compatible determinado.
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Bibliografía
Gobierno de Aragón. Matemáticas y Tecnología, módulo 3. Educación Secundaria para Personas Adultas. España. Gobierno de Aragón. 2011. 134 p.
Web: http://recursostic.educacion.es/bancoimagenes/web/ INTEF (Instituto Nacional de Tecnologías Educativas y Formación del Profesorado).
Web: http://www.educa2.madrid.org/educamadrid/
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