Ámbito Científico-Tecnológico | Módulo III | Bloque 4 | Unidad 6
¿Eres mi semejante?
Cuántas veces nos hemos parado a pensar,
¡esas dos personas mira que se parecen, casi
son igualitas! De igual manera, cuando hemos
visto objetos muy parecidos hemos exclamado
¡casi son idénticos!
En esta unidad vamos a estudiar algo que se
aproxima a estos pensamientos, con la
diferencia que veremos cosas iguales y
proporcionales, es decir, la semejanza.
¡Adelante!
Índice
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1. Áreas de figuras planas
Antes de comenzar esta unidad debes recordar las áreas de las figuras planas vistas en una unidad anterior ya que se te serán de mucha utilidad ahora.
Recordatorio:
Cuadrado
Triángulo
Rectángulo
Rombo
Trapecio
Paralelogramo
Círculo
Sector circular
Polígono regular
ángulo del sector
P = perímetro a = apotema
Imágenes: Matemáticas y Tecnología. Gobierno de Aragón
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2. Semejanza
Cuando hablamos de semejanza nos estamos refiriendo a dos cosas de igual forma pero de diferente tamaño. Por ejemplo podemos ver una fotografía aérea de un pueblo que se corresponde exactamente con el pueblo pero a
distinto tamaño: en la fotografía podemos verlo
entero y en la realidad no. Como podrás observar,
estos dos objetos tienen una relación entre ellos, es
decir, una relación de proporcionalidad. Así pues,
llamamos razón al cociente entre los valores de dos
Imagen: Figuras semejantes
magnitudes relacionadas entre sí. Y una proporción es la igualdad de dos razones.
2.1 Teorema de Tales
El matemático griego, Tales, estudiando geometría en un triángulo estableció su teorema que dice: “una línea paralela a un lado cualquiera de
un triángulo genera un triángulo semejante al
primero, esto es, con ángulos iguales y lados
proporcionales”. Si se generaliza, obtenemos
que: “cuando dos rectas secantes son cortadas
por rectas paralelas, todos los segmentos
definidos por los puntos de corte son
proporcionales a los segmentos homólogos”.
Si nos fijamos en el triángulo grande ABC, al
Imagen: Teorema de Tales
trazar una paralela (azul) al lado AC, obtenemos
otro triángulo, el DBE que tiene ángulos iguales y los lados son proporcionales al primero.
Establecemos que:
Ejemplo:
En esta imagen vemos a dos rectas secantes
cortadas por tres rectas paralelas que dan lugar a
varios segmentos.
Gracias al teorema de Tales sabemos que los
segmentos obtenidos son proporcionales, así
que:
Despejo la x.
Imagen: Matemáticas y Tecnología. Gobierno
de Aragón
Y obtengo el valor del segmento
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Ejemplo:
En esta imagen vemos a un muro de una
altura considerable que proyecta una sombra
de 20 m.. Colocamos un poste de 2 m. que
en el mismo instante proyecta una sombra de
3 m,.
Gracias al teorema de Tales sabemos que
los dos triángulos formados
son semejantes y por tanto los lados
proporcionales.
Despejo la x.
Imagen: Matemáticas y Tecnología. Gobierno de
Aragón
Y obtengo el valor del muro.
Practica:
1. Responde a estas preguntas:
a) ¿Son semejantes estas dos
b) En este triángulo isósceles,
figuras?
calcula el valor del lado x.
Como dijimos al principio, dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma y diferente tamaño como cuando nos hacen una ampliación de una fotografía (las imágenes son las mismas pero una más grande que la otra). En el caso de figuras geométricas diremos que son semejantes cuando tienen los ángulos iguales y los lados proporcionales.
Si dos figuras geométricas son proporcionales, quiere decir que la razón (k) entre los lados homólogos de las dos figuras es la misma para cualquier par de lados.
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Observa la siguiente imagen:
Y a esa razón (k) la llamaremos razón de semejanza.
Ejemplo:
Tengo dos imágenes semejantes, la
mayor de 10 x 4 cm, y la menor de
5 x 2 cm.
Si dividimos los lados homólogos:
La razón de semejanza k = 2.
Esto quiere decir que una imagen es el
doble de la otra, cosa que ya
sabíamos
viendo
tan
solo
sus
medidas.
Imágenes. INTEF
2.2 Aplicaciones del teorema de Tales
Algunas de las aplicaciones más utilizadas son:
División de un segmento en partes iguales
Para dividir el segmento AB en partes
iguales, lo primero que hacemos es trazar
una semirrecta con origen en A (color rojo)
con un cierto ángulo respecto del segmento.
Con ayuda del compás, tomamos una media
y trazamos tantas divisiones sobre la
semirrecta como partes queramos dividir al segmento (5 en nuestro caso). Seguidamente unimos el extremo del segmento dado con el final de la última división y trazamos paralelas a esta línea de color azul por cada una de las partes señaladas con el compás, Y así tenemos dividido el segmento en partes iguales.
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Dibujar figuras semejantes
Para dibujar una figura semejante
a otra, marcamos un punto
externo y tiramos líneas desde
ese punto a los vértices de la
figura.
Después
trazamos
segmentos paralelos a los lados
de la figura hasta tocar con las líneas de trazo discontinuo. Y listo, nueva figura semejante.
Las escalas
Cuando queremos hacernos una idea de qué tamaño tiene un determinado lugar o de una vivienda por ejemplo, miramos un plano, que no es más que la representación a escala de ese lugar o vivienda. Por tanto, la escala es la relación que existe entre la medida real y la del plano y se representa por 1 : x donde x es la razón de semejanza .
Ejemplo:
El plano de una vivienda está realizado a escala 1:50, quiere decir que por cada unidad que midas en el plano (centímetro por ejemplo), le corresponde 50 unidades en la realidad (50
centímetros).
Ejemplo:
Un mapa está realizado a escala 1:25.000 y la medida
entre dos puntos en el plano es de 12 cm. ¿Cuál será la
distancia real entre ambos puntos?
Ejemplo:
Una maqueta de un coche está realizada a 1:25. Si el
largo del coche en la realidad es de 4 metros, ¿cuánto
medirá en la maqueta?
Practica:
2. Responde a estas preguntas:
a) En un mapa de España realizado a escala 1:1.000.000 mido la distancia entre dos ciudades obteniendo 8 cm. ¿Cuál será la distancia real?
b) El plano de una vivienda está realizado a 1:50. Si la fachada en la realidad tiene 10 m. ¿Cuántos centímetros serán en el plano?
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3. El triángulo rectángulo
Recordatorio: Como ya sabes, un triángulo
rectángulo es aquél que tiene un ángulo recto (90º).
Los lados reciben nombres específicos: el más largo
es la hipotenusa y los otros dos se denominan catetos
3.1 Teorema de Pitágoras
El teorema de Pitágoras dice que: “en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”.
a2 = b2 + c2
a = hipotenusa
b y c = catetos
Para que lo comprendas mejor, tienes un gráfico a la
derecha en donde la hipotenusa (5) al cuadrado es el
área de ese cuadrado (25). Lo mismo sucede para los
dos catetos de medidas 3 y 4, por lo que la suma de las
áreas de sus cuadrados es: 16 + 9 = 25.
El teorema de Pitágoras se utiliza muchísimo en
matemáticas para la resolución de problemas. También
en la vida cotidiana su uso es alto, como por ejemplo en
la construcción de edificios para “sacar” las esquinas.
Imagen: INTEF
Ejemplo:
Calcula la diagonal de este rectángulo:
Se nos forma un triángulo rectángulo por lo que
podemos aplicar el teorema de Pitágoras.
Tenemos el valor de los dos catetos y nos piden por el
de la diagonal. Así pues:
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Ejemplo:
Calcula el área de este triángulo isósceles:
Para calcular el área del triángulo debo conocer la base
y la altura del mismo. La base son 8 m. pero al altura no
la conozco. Observo que se nos forma un triángulo
rectángulo entre el lado mayor, la mitad de la base y la
altura por lo que podemos aplicar el teorema de
Pitágoras.
Tenemos el valor de la hipotenusa (12 m.) y el del
cateto inferior (4 m.) –la mitad de la base- por lo que
debemos hallar el otro cateto.
Despejo el cateto
que es la altura
Ahora puedo calcular el área o superficie del triángulo al
tener todos los datos
Practica:
3. Resuelve:
a) Calcula la diagonal de un cuadrado que tiene 5 metros de lado
b) Halla el área de un rombo que mide 5 m. de lado y la diagonal mayor tiene 8
metros.
c) Calcula el valor del lado que falta
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Glosario
Razón: es el cociente entre los valores de dos magnitudes relacionadas entre sí.
Proporción: es la igualdad de dos razones.
Teorema de Tales: dice que “una línea paralela a un lado cualquiera de un triángulo genera un triángulo semejante al primero, esto es, con ángulos iguales y lados proporcionales”.
Teorema de Pitágoras: dice que “en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”.
Actividades
Actividad 1:
A la misma hora que un árbol de 4 m de altura proyecta una sombra de 2,5 metros, la sombra de una torre mide 10 m. ¿Qué altura tiene la torre?
Actividad 2:
Madrid y Segovia están separadas por 90 km. ¿Cuántos centímetros estarán separadas en un mapa de escala 1:2.000.000?
Actividad 3:
La plaza circular del pueblo tiene un radio de 15 metros y en el plano mide 4 cm. ¿Cuál será la escala de dicho plano?
Actividad 4:
Para sujetar un poste de 10 m, se emplean dos
vientos de alambre duro colocados uno en su
extremo y otro a la mitad como se ve en la figura.
a)
¿Cuánto alambre nos hará falta para sujetar el
poste?
b)
Si en su instalación se estropea la décima
parte, ¿cuánto necesitaremos de verdad?
Actividad 5:
Calcula el área o superficie de esta figura.
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Actividad 6:
Para reponer la bombilla fundida de una farola de la
calle tenemos una escalera de 5 metros de larga. Si la
farola está situada a 4 m. del suelo, ¿Cuánto debemos
separar la escalera de la pared para que llegue justo a
la base de la farola?
Actividad 7:
Divide en 7 partes iguales este segmento:
Actividad 8:
Calcula el valor de la x.
Actividad 9:
¿Sabrías calcular el valor de la
línea roja?
Soluciones a los practica
Practica 1
a) No
b)
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Practica 2
a)
b)
Practica 3
a)
Hay que calcular la hipotenusa
b)
1. Debemos conocer las diagonales:
D = 8 m. Para la diagonal menor nos
fijamos en el triángulo rectángulo en el
que vemos que la hipotenusa es 5 m.,
el cateto mayor es 4 m. (la mitad de la
diagonal mayor) y nos falta el menor.
Aplicamos el teorema de Pitágoras
Despejo el cateto:
Por lo tanto, la diagonal menor será: d = 6 m.
2. Calculamos la superficie del rombo:
c)
Nos falta por conocer el cateto menor.
Aplicamos el teorema de Pitágoras
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Bibliografía
Gobierno de Aragón. Matemáticas y Tecnología, módulo 3. Educación Secundaria para Personas Adultas. España. Gobierno de Aragón. 2011. 134 p.
Web: http://recursostic.educacion.es/bancoimagenes/web/ INTEF (Instituto Nacional de Tecnologías Educativas y Formación del Profesorado).
Web: http://matematicasesomj.blogspot.com.es/p/segunda-evaluacion.html
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