Ámbito Científico-Tecnológico | Módulo III | Bloque 5 | Unidad 7
Sigue la línea
La información gráfica nos “bombardea” a
todas horas. En los medios de comunicación
aparece
en
cualquier
momento
para
informarnos
de
resultados
electorales,
economía, empleo, temperaturas, etc.
Y es que gracias a un gráfico, con un golpe de
vista, somos capaces de tener rápidamente
gran cantidad de información dispuesta según
una variable. Es un mundo apasionante.
¡Adelante!
Índice
1. Conceptos iniciales
La ventaja de los gráficos respecto de otros sistemas de representación simbólica, desde el punto de vista de la comunicación humana, está en que disponemos de gran información estructurada según ciertos criterios, lo cual facilita su comprensión.
Los gráficos están presente en nuestra vida de forma cotidiana por lo que debemos ser capaces de interpretarlos de forma correcta para evitar engaños o situaciones desfavorables.
Asimismo, tenemos que ser capaces de construirlos para mostrar a los demás la información deseada. Pero antes, vamos a aprender o recordar varias cosas.
1.1 Magnitudes y variables
Se llama magnitud a cualquier característica de los objetos y seres vivos que se pueda medir y expresar numéricamente. Así por ejemplo, la masa de los cuerpos será una magnitud porque se puede medir (12 kg), o el volumen (2 m3), o la altura de una persona (1,70 cm), etc.
Las variables son símbolos que representan el conjunto de valores que puede tomar una determinada magnitud.
Las variables pueden ser independientes (si no dependen de ninguna otra) y dependientes (aquellas que dependen de otra). Esto es así porque ambas están relacionadas. Lógico, para que una variable sea dependiente tiene que estar relacionada mediante dependencia con la independiente.
Ejemplo:
En un partido de fútbol todas las personas que acceden al estadio van a ver el mismo partido durante el mismo tiempo pero unas van a pagar mucho más que otras, ¿por qué?
Fijándonos un poco nada más, vemos que hay dos variables que podrían estar relacionadas:
el precio de la entrada y la ubicación en el campo de fútbol (fondo, tribuna, anfiteatro, …). La entrada de tribuna es más cara que la de fondo y ésta más que la de anfiteatro, así pues, la ubicación en el campo es la variable independiente y el precio de la entrada, la variable dependiente porque depende de dónde nos sentemos.
Las variables se expresan con letras y generalmente se usan la x para la variable independiente y la y para la dependiente.
Practica:
1
Indica cuál es la variable independiente y la dependiente en cada caso:
b) El gasto en combustible y los
a) El peso de una fruta y su precio
kilómetros recorridos.
c) La nota fina y las horas de
d) El peso de un paquete y los
estudio.
sellos a pegar.
e) Las llamadas telefónicas y la
f) Las horas trabajadas y el sueldo
factura a pagar. NOTA: no hay
a percibir.
tarifa plana.
1.2 Los ejes de coordenadas
A la hora de hacer un gráfico para mostrar las dos
Recordatorio: ¿Recuerdas el
variables que hemos descrito anteriormente, lo más
famoso juego de los barquitos
(tocado, hundido)? Pues esto
sencillo es hacerlo mediante un eje de coordenadas (dos
es parecido.
rectas perpendiculares llamadas ejes cartesianos).
Los ejes cartesianos dividen al plano en
cuatro cuadrantes como ves en la figura.
El eje horizontal (el de las x) se llama eje
de abscisas.
Y el eje vertical (el de la y) se denomina eje
de ordenadas.
En cada cuadrante podrás observar que
están representados varios puntos. Para
escribirlos se empieza siempre por el valor
en el eje de abscisas y después el de
ordenadas separados por una coma.
P(5,4); P’(-6,5).
Imagen: Matemáticas y Tecnología.
Gobierno de Aragón
Practica:
2
Representa los siguientes puntos en el eje cartesiano:
a) P(3,4)
b) P(-2,-1)
c) P(4,0)
d) P(0,0)
e) P(-5,5)
f) P(-4,0)
g) P(-3,1)
h) P(0,-5)
1.3 Tablas de valores
Una vez que ya sabemos colocar los puntos en los ejes cartesianos, vamos a ver cómo situamos todos los valores de las variables para representarlos gráficamente después.
Una tabla de valores, como su propio nombre dice, es una tabla en la que vamos a colocar los valores correspondientes a las variables dadas, obteniendo pares de números para su posterior representación gráfica.
Ejemplo:
Vamos a poner en una tabla de valores las personas que viven en cada uno de los pisos de una comunidad de vecinos.
Bajo A
Bajo B
Primero A
Primero B
Segundo A
Segundo B
2
3
1
0
4
3
Como verás, tenemos pares de puntos para representar después. Un par de puntos sería el P(Bajo A,2). Otro par de puntos sería el P’(Segundo A,4) y así sucesivamente con todos los demás.
Ejemplo:
Ahora vamos a poner en una tabla de valores los litros de gasolina gastados y el importe a pagar (€).
1 litro
2 litros
5 litros
6 litros
10 litros
20 litros
1,45
2,90
7,25
8,70
14,50
29,00
De igual manera que antes, aquí también tenernos pares de puntos, el P(1,1.45), el P’(2,2.90) o el P’’(10,14.50) por ejemplo. Ahora falta representarlos gráficamente.
2. Elaboración de gráficas a partir de tablas de valores
Una vez que tenemos confeccionada la tabla de valores, llega el turno de su representación gráfica en los ejes cartesianos. Es un proceso muy sencillo, basta tan solo con fijarse el valor a marcar en cada uno de los ejes y trazar las líneas hasta que se corten. Ese punto representa el par a representar.
Vamos a representar un par de ejemplos para su mejor comprensión. En estos casos nos proporcionan la tabla de valores; en el caso que no fuera así, la haríamos nosotros dando valores a la variable independiente (x) para obtener el valor de la variable independiente (y).
Después nos situaremos en el eje de coordenadas y situamos los pares de puntos obtenidos.
Ejemplo:
Representemos gráficamente el tiempo que emplea un corredor en dar vueltas a un circuito.
Tabla de valores
y
vueltas
Tiempo (s)
1ª vuelta
40
2ª vuelta
45
3ª vuelta
35
4ª vuelta
35
5ª vuelta
30
x
En este caso solo representamos los puntos y no los unimos porque el tiempo no depende directamente de las vueltas. Hay otros factores que pueden influir en el desarrollo de cada vuelta (cansancio, sprint, carrera táctica, etc.).
Ejemplo:
Ahora vamos a representar gráficamente el coste que tiene enviar por mensajería un paquete a una determinad ciudad.
La tabla de valores es la siguiente:
Peso (kg)
1
2
3
4
5
6
Precio (€)
3,50
7,00
10,50
14,00
17,50
21,00
Ahora representamos los
pares de puntos resultantes
y
de enfrentar el peso con el
precio del envío del paquete
postal quedando unidos
todos ellos. Esto quiere
decir que existe alguna
dependencia entre las
variables.
Cuanto más pese el paquete
más nos costará enviarlo
por mensajería.
El precio (euros) es la
variable dependiente porque
depende del peso del
paquete que es la variable
x
independiente.
Practica:
3
Representa gráficamente estas tablas de valores:
x
0
1
2
3
4
5
6
y
7
5
3
9
4
2
0
x
0
1
2
3
4
5
6
y
0
1
2
3
4
5
6
3. Funciones
En el ejemplo anterior has visto que se pueden establecer relaciones entre las dos variables siendo éstas de muy diferentes tipos. Estamos ante una función cuando a cada valor de la variable independiente le corresponde un único valor de la variable dependiente.
Vamos a estudiar algunas funciones haciendo su tabla de valores y posteriormente su representación gráfica.
Ejemplo:
Sea la función y = x2 -1
Hagamos la tabla de valores. Para ello damos valores a la x y
obtendremos el resultado de la y.
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
1
0
3
8
Ahora procedemos a su representación gráfica en el eje cartesiano.
y
Representación
gráfica de la función:
y = x2 - 1
x
Ejemplo:
Sea la función y = -2x
Hagamos la tabla de valores. Para ello damos valores a la x y
obtendremos el resultado de la y.
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
6
4
2
0
-2
-4
-6
Ahora procedemos a su representación gráfica en el eje cartesiano.
y
Representación
gráfica de la función:
x
y = -2x
3.1 La función lineal y la función afín
La función lineal
La función lineal se escribe matemáticamente de la siguiente manera:
y = ax
en donde la x es la variable independiente; y la variable dependiente y la a es un número llamado constante de proporcionalidad.
y = 3x
La recta que nos sale al representarla gráficamente siempre pasa por el punto P(0,0).
Ejemplo:
Sea la función y = 3x Hagamos la tabla de valores. Para ello damos valores a la x y obtendremos el resultado de la y.
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
-9
-6
-3
0
3
6
9
Ahora procedemos a su representación gráfica en el eje cartesiano.
y
Representación
gráfica de la función:
y = 3x
x
La función afín
La función afín se escribe matemáticamente de la siguiente manera:
y = ax + b
en donde la x es la variable independiente; y la variable dependiente; a es la constante de proporcionalidad y b es un número.
y = 2x + 2
Ejemplo:
Sea la función y = 2x + 2
Hagamos la tabla de valores. Para ello damos valores a la x y
obtendremos el resultado de la y.
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
-4
-2
0
2
4
6
8
Ahora procedemos a su representación gráfica en el eje cartesiano.
y
Representación
gráfica de la función:
x
y = 2x + 2
La recta que nos sale al representarla gráficamente no pasa por el punto P(0,0) sino que se desplaza dos unidades hacia arriba de dicho punto P’(0,2).
Practica:
4
Haz la tabla de valores y representa gráficamente estas funciones. Indica
cuáles de ellas son lineales y cuáles afines:
a) y = -x
b) y = x2 – 1
c) y = -2x -2
d) y = x3
e) y = x + 3
f) y = x2 - x
Vamos a recapitular. Seguro que te has dado cuenta de que las funciones lineal y afín son rectas que responden a la fórmula:
y = ax + b
de tal forma que si b = 0 estamos ante la función afín.
Si nos fijamos en la fórmula seremos capaces de representar la recta sin necesidad de tener que hacer la tabla de valores. Para ello, prestemos atención a dos aspectos importantes de la recta.
La pendiente
La pendiente es la inclinación de la recta, cuanto más inclinada, más pendiente y viceversa.
Y la inclinación o pendiente viene dada por el número de la x, esto es la ( a).
Ejemplo:
y
En este gráfico hay
varias rectas. Cada una
tiene su inclinación o
pendiente.
Recta y = x
pendiente: 1
Recta y = 3x
x
pendiente: 3
Recta y = x
pendiente:
Recta y = - x
pendiente: - 1
Las tres primeras rectas tienen pendiente positiva, esto es, las rectas crecen como ves en el gráfico. La última recta y = - x de pendiente –1 es descendente.
A la vista de la representación gráfica de la recta, ¿cómo puedo saber la pendiente de la recta?
Muy fácil. Fíjate en este caso:
Sea la recta de color verde
Para calcular su pendiente tomo dos puntos de
dicha recta, por ejemplo el P(0,0) y el P’(1,3), en donde la primera coordenada del punto corresponde al valor en el eje x y la segunda, al valor en el eje y. ¿Recuerdas?
Realizamos esta sencilla operación:
Restamos la coordenada y del punto mayor respecto del menor (y1 – y0) = (3 – 0).
Restamos la coordenada x del punto mayor respecto del menor. (x1 – x0) = (1 – 0). Y dividimos
Pendiente: 3
Practica:
5
A la vista de las gráficas de estas rectas, calcula su pendiente:
y
x
Ahora que ya sabes calcular la pendiente de una recta viendo su gráfica, podemos saber también qué ocurre cuando dos rectas tienen la misma pendiente. Que son paralelas.
Ejemplo:
y
y = 4x - 2
La recta y = 4x + 1 es
paralela a la recta y = 4x - 2
x
y = 4x + 1
La ordenada en el origen
¿Recuerdas la fórmula matemática de la recta? Es esta: y = ax + b. La ordenada en el origen es el número representado por la letra b y es el punto donde la recta corta al eje de ordenadas (y). A modo de resumen, la recta cortará al eje y según el valor de la b, por encima o debajo del cero según sea positivo o negativo.
Si miras el gráfico anterior verás dónde corta cada una de las rectas al eje y.
La recta y = 4x + 1 en el punto P(0,1).
La recta y = 4x -2 en el punto P’(0,-2).
Ejemplo:
A la vista del gráfico vamos a
y
escribir la fórmula de las
rectas:
1. Recta
Para calcular la pendiente
nos fijamos en dos puntos
P(1,4) y el P’(0,2). Hacemos
las operaciones
x
La ordenada en el origen
será dos porque corta al eje
y en ese punto . b = 2. Así
pues la recta será:
y = 2x + 2
2
Recta
Para calcular la pendiente nos fijamos en dos puntos P(-2,0) y el P’(0,-2). Hacemos las operaciones
La ordenada en el origen será -2 porque corta al eje y en ese punto . b = -2. Así pues la recta será:
y = -x - 2
Consolidación:
La fórmula matemática de la recta es:
y = ax + b
pendiente
ordenada en el origen
La pendiente nos informa de la inclinación de la recta y la ordenada en el origen del punto de corte con el eje de ordenadas.
Recordatorio:
La función lineal se escribe matemáticamente como y = ax y siempre tiene como representación gráfica una recta que pasa por el centro del eje de coordenadas.
La función afín se escribe matemáticamente como y = ax + b y tiene como representación gráfica una recta que se desplaza hacia arriba o abajo del centro del eje de coordenadas tantas unidades como sea la letra b.
Practica:
6
A la vista de las gráficas de estas rectas, escribe su fórmula:
y
x
Casos particulares
Imaginemos que tenemos
y
una recta que no tiene
pendiente. Quiere decirse
que no tiene inclinación y
por lo tanto es plana en la
gráfica o constante.
La fórmula matemática de
la recta es y = ax + b, si la
x
pendiente es nula o cero,
entonces a = 0 por lo que
la ecuación de la recta
quedará expresada como:
y = b
y = 5
y = 3
y = -3
Otro caso particular sería
el de rectas paralelas al eje
de ordenadas ( y). Serían
rectas verticales ya que la
x siempre tendría el mismo
valor.
La fórmula matemática de
x
la recta quedará expresada
como:
x = c
donde c es un número
real. Gráficamente quedará
así:
x = 3
x = - 4
x = 1
4. Lectura e interpretación de gráficas
Como se decía al principio de la unidad, las gráficas son cotidianas en nuestro quehacer diario.
Aparecen en los medios de comunicación escritos y audiovisuales para complementar y aclarar
la información expuesta. A continuación, vamos a poner una serie de ejemplos recopilados en internet sobre noticias e informaciones reales.
Caso 1. Evolución del IPC.
Imagen: Gráfica del IPC http://economy.blogs.ie.edu
Está gráfica, muy común últimamente en todos los medios de comunicación, nos muestra la evolución del IPC (Índice de Precios al Consumo) a lo largo del año 2012 y parte del 2013. En el eje de abscisas está colocado el tiempo desglosado en meses y en el eje de ordenadas el valor correspondiente al mes en cuestión. Ese valor es el resultado de diversos cálculos estadísticos por parte del Ministerio de Economía.
Pero fijémonos en la gráfica. De una sola mirada sabemos el IPC mes a mes en el tiempo especificado. Se aprecia también a simple vista periodos en los que el IPC sube (junio de 2012
a octubre de 2012 por ejemplo), baja o (febrero de 2013 a abril de 3012) incluso se mantiene (mayo a junio de 2012 por ejemplo). E incluso podríamos conocer el diferencial del IPC en el año 2012.
Caso 2. Evolución de la altura de las mareas en pies.
Imagen: Gráfica de las mareas http://quiz.uprm.edu/tutorials_master/
En esta grafica está representada la variación de la altura de una marea a lo largo del día. En el eje de abscisas está colocado el tiempo en tramos de seis horas y en el eje de ordenadas la altura en pies. Con un simple “golpe de ojo” sabemos cuando la marea está alta o baja, o el tiempo que tarda en alcanzar la pleamar desde la bajamar por ejemplo, o algo que es muy vistoso, que es cíclico, es decir, se repite cada cierto tiempo.
Caso 3. Evolución de la temperatura máxima a lo largo de un día en una ciudad.
Imagen: Gráfica de la evolución de la temperatura máxima
En esta tercera gráfica observamos la evolución de la máxima a lo largo de un día en una ciudad. En el eje de abscisas están colocadas las horas y en el de ordenadas la temperatura en grados centígrados. Viendo la gráfica obtenemos información sobre cuál es la temperatura
máxima, la mínima o la variación de temperatura en un tramo horario. También con simples operaciones matemáticas podríamos conocer la temperatura máxima media de ese día.
Del mismo modo que podemos construir una gráfica a partir de la tabla de valores, también podemos hacerlo a la inversa, escribir la tabla de valores mirando la gráfica. ¿Te animas a hacerla a partir de los valores de la gráfica de temperaturas? ¡Adelante!
Horas
Temperatura
Practica:
7
Analiza e interpreta estas gráficas:
a) La velocidad de una motocicleta durante un tiempo.
b) Variación del precio de la electricidad.
Glosario
Función: es una correspondencia en la que a cada valor de la variable independiente le corresponde un único valor de la variable dependiente.
Variable independiente: es la que adquiere valores sin depender de ninguna otra.
Variable dependiente: es la que obtiene su valor según otra llamada independiente.
Tabla de valores: Pares de puntos para los que se cumple la función.
Eje de coordenadas: puede ser de abscisas (es el eje horizontal o de las x) o de ordenadas (es el eje vertical o de las y).
Pendiente: Inclinación que tiene la recta.
Ordenada en el origen: punto de corte de la recta con el eje de ordenadas.
Rectas paralelas: aquellas que tienen la misma pendiente.
Actividades
Actividad 1:
Escribe las coordenadas de estos puntos:
Actividad 2:
Coloca estos puntos en los ejes de coordenadas: P(0.-4); P(-5,-2); P(6,1); P(1,5); P(-1,5); P(2,0); P(0,-1) y P(-3,0).
Actividad 3:
Haz la tabla de valores y representa gráficamente estas funciones:
y = -3x
y = -x2
y = 2x + 1
y = 4x - 2
Actividad 4:
Clasifica estas funciones entre lineales y afines:
y = x
y = x + 7
y = -2x + 8
y = -x -3
Actividad 5:
A la vista de las gráficas de estas
funciones, escribe las ecuaciones de
las rectas correspondientes:
Actividad 6:
Las gráficas siguientes relacionan la masa y el
volumen de dos metales y aceite.
a) Halla la densidad de cada una de las sustancias.
Recuerda que la fórmula es:
b) Calcula la pendiente de cada una de las rectas e
índice el significado que tiene.
c) ¿Cuál tiene mayor densidad y cuál menor?
d) ¿Qué masa tendrán 4 dm3 de plata?
e) ¿Qué volumen ocupa 1/2 kg de aceite?
Actividad 7:
En cierta ferretería venden rollos de 20 m de alambre por 5 euros.
a) ¿Cuánto cuesta cada metro de alambre?
b) Completa la siguiente tabla de valores:
x (metros)
0,5
1
2,5
3
5
10
y (coste)
c) Representa la correspondiente gráfica.
d) Escribe la expresión algebraica de esta función, ¿cuál es la pendiente?
Actividad 8:
Un bar paga a su proveedor 1,50€ por cada bote de banderillas.
a) Haz una tabla de valores para cantidades de botes entre 1 y 8.
b) Dibuja la gráfica de valores.
c) ¿Cuánto costarán 15 botes?
Actividad 9:
He aquí una gráfica con la tasa de paro en España en el periodo (2006 – 2008). Coméntala.
Habla también del significado de la pendiente de los tramos.
Soluciones a los practica
Practica 1
a) El peso de una fruta Independiente
b) El gasto en combustible Dependiente
Su precio Dependiente
Los kilómetros recorridos Independiente
c) La nota final Dependiente
d) El peso de un paquete Independiente
Las horas de estudio Independiente
Los sellos a pegar Dependiente
e) Llamadas telefónicas Independiente
f) Las horas trabajadas Independiente
La factura a pagar Dependiente
El sueldo a percibir Dependiente
Practica 2
Practica 3
.
Practica 4
a)
b)
x
y
x
y
-3
3
-3
8
-2
2
-2
3
-1
1
-1
0
0
0
0
1
1
-1
1
0
2
-2
2
3
3
-3
3
8
c)
d)
x
y
x
y
-3
4
-3
-27
-2
2
-2
-8
-1
0
-1
-1
0
-2
0
0
1
-4
1
1
2
-6
2
8
3
-8
3
27
e)
f)
x
y
x
y
-3
0
-3
6
-2
1
-2
6
-1
2
-1
2
0
3
0
0
1
4
1
0
2
5
2
2
3
6
3
6
Practica 5
P(0,0) P’(1,5)
P(0,0) P’(2,4)
Practica 6
P(-1,4) P’(0,3)
P(0,3) P’(2,4)
P(0,0) P’(1,3)
Miramos la ordenada en el
Miramos la ordenada en el
Miramos la ordenada en el
origen: b = 3
origen: b = 3
origen: b = 0
y = -x + 3
y = 3x
Practica 7
a)
b)
Gráfica que representa la velocidad de un
Gráfica que representa el precio en euros del
móvil respecto del tiempo. A los 10 segundos
Kw/h en España y en la zona euro durante
alcanza una velocidad de 20 m/s partiendo
varios años (2006-2011).
desde el reposo, así que acelera.
El precio del Kw/h crece más rápidamente en
Después mantiene la velocidad durante 30
España que en la zona euro equiparándose
segundos y por último en 5 segundos vuelve
tan sólo a mediados del 2008.
al reposo, esto es, frena.
La tendencia es que siga subiendo más en
España que en la zona euro.
Bibliografía
Gobierno de Aragón. Matemáticas y Tecnología, módulo 3. Educación Secundaria para
Personas Adultas. España. Gobierno de Aragón. 2011. 134 p.
Web: http://recursostic.educacion.es/bancoimagenes/web/ INTEF (Instituto Nacional de Tecnologías Educativas y Formación del Profesorado).
Web: elpais.com. El PAÍS.
Web: http://www.laverdad.es. La Verdad de Murcia.
Web: http://quiz.uprm.edu/tutorials_master
Web: http://economy.blogs.ie.edu
Web: http://cinematicaenunadimensionsistemas.blogspot.com.es/