## Gráficas de funciones elementales

##

Aquí te ofrecemos una herramienta, el "nippe" Descartes al que nos referiremos como escena, para dibujar y estudiar las gráficas de distintos tipos de funciones que hemos clasificado como:

· Funciones lineales, cuadráticas.

· Funciones racionales sencillas: proporcionalidad inversa y cocientes de polinomios de grado menor o igual a 2.

· Algunas trigonométricas: básicamente variantes sobre sen x y cos x

· Funciones cualesquiera:

· Funciones exponencial y logarítmica

· Función raíz cuadrada.

Para la escritura de las expresiones de las funciones se utilizan los símbolos de las operaciones y los paréntesis, como es habitual.

A continuación tienes alguna de las funciones que puedes utilizar en las escenas, solas u operadas entre sí.

+ suma, - resta, * multiplica, / divide, ^ potencia
· x^n=potencia de exponente n · sqrt(x)=raíz cuadrada de x · exp(x)=exponencial con base el nº e · log(x)=logaritmo de x con base e · log10(x)=logaritmo de x con base 10 · abs(x)=valor absoluto de x · ent(x)=parte entera de x · sgn(x)=signo de x · sen(x)=seno de x · cos(x)=coseno de x

Si quieres expresar el polinomio 3x2+2x-3 tendrás que escribirlo como 3*x^2+2*x-3 para que sea válido en la escena. Si lo que quieres escribir es ex +1 tendrás que poner exp(x)+1

Esta escena te permite dibujar una función cualquiera si eres capaz de decírselo adecuadamente. Cuando hayas manejado las funciones más elementales, es posible que puedas hacerlo. Utilízalo para comprobar si te han salido las curvas de tarea.

# Funciones polinómicas sencillas

E n esta escena podemos dibujar funciones polinómicas de hasta tercer grado: ax3+bx2+cx+d, para representar gráficas de otro tipo de polinomios basta con hacer 0 los coeficientes correspondientes en la escena

## Funciones lineales : f(x) = a x + b

· a = 0 f(x) = b

(en la escena puedes llamar a=0 b=0 c=0 d=1,5)

Ejercicio 1:
Representa utilizando la escena las funciones:f(x)=3 f(x)=4 f(x)=-2 f(x)=-12 f(x)=3,4 f(x)=-1,5 (utiliza el botón "zoom" si te resulta dificil ver algunas de ellas)
¿Qué tienen todas estas funciones como característica

· a distinto de 0 b = 0 f(x)=ax

Ejercicio 2:
Representa las gráficas de las funciones f(x) = 2x , f(x) = 7x, f(x) =- 3x , f(x) = 0,3x , f(x) = - 5x f(x) = - 0,1x . Resume que tiene de especial la gráfica de este tipo de funciones. Dibuja en tu cuaderno la gráfica de f(x) = 1,5x o f(x) = - 4x, después comprueba en la escena que es correcto tu dibujo

· a y b distintos de 0 f(x) = ax + b

Ejercicio3:
Representa f(x) = 3x+2 , f(x) = -2x+2 , f(x) = 0,5x+2 . Después de esto resume los papeles que representan a y b en la gráfica de la función lineal

## Funciones cuadráticas f(x) = ax2+bx+c

Una función polinómica de segundo grado f(x) = ax2+bx+c se llama función cuadrática. Su representación gráfica es una parábola.

· b=0 c=0 a distinto de o f(x)=ax2

Ejercicio 3:
Representa f(x) = x2 , f(x) = - x2 , f(x) = 2x2 , f(x) = 4x2 , f(x) = 0,5x2 , f(x) = - 0,3x2 .¿Qué tienen en común todas estas gráficas?¿Cuál es su vértice? ¿En qué influye el signo de a? ¿Y el valor absoluto de a?
Sin utilizar la escena dibuja en tu cuaderno f(x)=1,5x2 y f(x) = - 0,5x2 . Comprueba luego el resultado

· b=0 , a y c distintos de 0 f(x)=ax2+c

Ejercicio 4:
Representa f(x)=x2+3 ,f(x)=2x2+3, f(x)=- x2+3 ¿Dónde tienen el vértice las tres parábolas? ¿En qué influye el valor de a?
¿Dónde tendrá el vértice f(x)=3x2- 1?. Compruébalo.

· f(x)=a(x-d)2+c

Ejercicio 5:
Representa f(x)=(x-2)2 , f(x)=3(x-2)2 , f(x)=-1,2(x-2)2.¿Qué tienen en común esas gráficas?
¿Cuál será el vértice de f(x)=3(x+1)2?. Compruébalo. ¿Dónde tendrá el vértice la función f(x)=(x+2)2-3?
Resume las características de una función de este tipo

· Otras funciones cuadráticas f(x) = ax2+bx+c

De estas funciones podemos saber que son parábolas hacia arriba si a>0 o hacia abajo si a<0 pero el vértice se tiene que calcular mediante la fórmula
xv= - b/ 2a yv = f(xv)

Ejercicio 6:
Calcula el vértice de f(x) = -2x2+8x+5 usando la fórmula y coteja el valor mediante la escena

# Función de proporcionalidad inversa

En esta escena puedes representar funciones de proporcionaliad inversa bastante complicadas. . Da los valores adecuados a los parámetros k, a, y b. Así podrás representar muchas de éstas funciones

.

## Función f(x) = 1/x

La gráfica de esta función aparece en la escena por defecto, o al presionar el botón inicio. Se llama hipérbola equilátera. Hay dos lineas rectas que parecen sujetar la función, se denominan asíntotas. En este caso son las x=0 e y =0.

· Función f(x) = k/x

Ejercicio1:
Representa f(x) = 3/x, f(x) = 5/x, f(x) = 0,1/x , f(x) = - 1/x , f(x) = -2/x , f(x) = - 0,5/x. ¿Qué papel representa k en esta gráfica? ¿Qué ocurre si es negativa? ¿Influye en las asíntotas?

· Función f(x)= 1/(x-a)

Ejercicio 2:
Representa f(x)= 1/(x-1), f(x)= 1/(x- 5) , f(x)= 1/(x+2) , f(x)= 1/(x+ 0,5) , f(x)= 1/(x+7).¿Qué semejanzas y diferencias ves con la función patrón?
¿cuáles serán las asíntotas de f(x)= 1/(x+1,5)?. Compruébalo.

· Función f(x)= (1/x ) + b

Ejercicio 3:
Haz en la escena k=1 y a=0 para representar las siguientes funciones f(x)= (1/x ) + 5, f(x)= (1/x ) - 4 , f(x)= (1/x ) + 0,5 .Después de ello expresa cómo actúa b en la gráfica de la hipérbola.

· Función f(x)= k/(x-a)+b

Ejercicio 4:
Antes de probarlo en escena adelanta las respuestas a las cuestiones sobre la función que se te plantean:
Si f(x)= -3/(x+2)-5,¿quiénes son sus asíntotas? ¿en qué cuadrantes se va a dibujar la hipérbola?¿dónde se dibuja siempre la asíntota vertical?.

· Función cociente de polinomios de primer grado f(x) = (ax+b)/(cx+d)

Ejercicio 5:
Esta función también tiene como gráfica una hipérbola equilátera, pero la escena que has usado hasta ahora no está preparada para dibujarla, tendrás que hacerlo en esta otra. Prueba con las funciones f(x) =2x/(3x-12) y f(x) =(5-x)/(3x+6) ¿puedes adivinar la ecuación de alguna de sus asíntotas? Recuerda que las horizontales siempre se pueden calcular con un límite en el infinito.

# Funciones trigonométricas

Estas funciones serán variantes de las funciones seno y coseno.Con esta escena podemos representar funciones trigonométricas. Empezamos por las más sencillas.
En la escena está dibujada en azul la gráfica de la función g(x) = sen (x). Dibuja en la otra la función f(x)= cos(x). Comprueba que son iguales, pero una está desplazada respecto de la otra. ¿Cuánto?
Dibuja f(x)= cos (x+3.14/2).¿Coinciden ahora?

1.-Representa las gráficas de f(x) = sen(x)+cos(x) f(x)= 3sen(2x+5)
f(x)=sen(2x+3)-3cos(x-1)

Observa que todas ellas son funciones periódicas.

# Funciones exponencial y logarítmica

En cualquiera de estas funciones la base debe ser siempre positiva

En esta gráfica están representadas, en verde, la función exponencial f(x)= ex ´(que tenemos que escribir como exp(x) en la escena) y su función recíproca f(x)= ln(x) (en este caso log(x)) representada en amarillo. Antes de representar otras observa cómo sus gráficas son simétricas respecto de la bisectriz del primer cuadrante.

## Función exponencial

##

Antes de pasar más adelante observa cuáles son el dominio, recorrido , crecimiento y cortes con los ejes de cada una de las dos gráficas.

Ejercicio 1:
Ahora vas a hacer un estudio comparativo de distintas funciones exponenciales. para ello debes introducir en la escena sus expresiones. Introduce como f(x) la función 2x, es decir borra f(x) en la escena y escribe 2^x, y como g(x) ve poniendo, sucesivamente, 3^x, 5^x , 20^x, 1.5^x. ¿Qué conclusiones deduces para la función? ¿Qué tienen todas ellas en común? ¿Tienen asíntotas? ¿Quiénes?

Ejercicio 2:
Introduce ahora como g(x) la función 0.5^x ¿Qué ha cambiado? Prueba con 0.1^x, 0.9^x, 0.25^x.
Saca las conclusiones que te parezcan razonables respecto de la función exponencial.

· Función f(x) = k.ax

Ejercicio 3:
Ahora , antes de introducirla en escena como función g(x) intenta dibujar en el papel como piensas que será la gráfica de g(x)= 3. 2x ( 3*2^x).Comprueba tus suposiciones. ¿Cómo será la gráfica de g(x)= -1+3. 2x ? ¿Y la de g(x)= - 3. 2x ?

##

## Función logarítmica

##

Representa ahora en la escena f(x)= log2x y g(x)=log10x ( tienes que escribir log(x)/log(2) y log10(x)). Observa las características comunes de las mismas: dominio, recorrido, asíntotas, crecimiento.

Ejercicio 4:
Ahora dale a g(x) el valor log0.5(x) (log(x)/log(0.5))¿Qué ocurre? ¿tiene la gráfica algún punto en común con las anteriores?. Sustituye la función f(x) actual por 0.5^x y observa que siguen siendo simétricas las gráficas respecto de la bisectriz del primer cuadrante.
Resume las características de la función logarítmica teniendo en cuenta el valor de la base de logaritmos que utilicemos

Ejercicio 5:
Ahora, representa las funciones f(x)= log(x) y g(x)= 2+log(x-1). Explica los cambios ocurridos. Haz lo mismo siendo g(x)= - 3+ log(1-x)

#

# Función raíz cuadrada

Vamos a utilizar la escena para representar funciones cuya gráfica son medias parábolas cuyo eje es horizontal.

Ejercicio 6:
Representa (hay que poner sqrt(x) ó x^(0.5)) y como g(x), sucesivamente para distintos valores de k, a y b. Empezamos por k=1, a=1 y b=2, -3, 2.5. Observa los resultados.

Ahora haz a=1 b=0 y k= 2, 5, -3, -1. ¿Cuál es el papel de k?

Intenta representar en un papel la función g(x) =3 -(x- 4)^(0.5). Comprueba los resultados en la escena, comparándolos con la función patrón raíz de x

Volver

Autores: Carlos López Valcárcel, Clara Aranzana Angulo, Ana Isabel Fernández Lomas, Vicente Guillén López, Elías Moreno Serrano, Fernando Robles Puente, Marta Viadas Aliende
IES Conde Diego Porcelos. Burgos