UTILIZACIÓN DEL DERIVE PARA INTRODUCIR ALGUNOS CONCEPTOS DE REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Y LA NOCIÓN DE DERIVADA

NIVEL:

1º BACH de CIENCIAS

OBJETIVOS:

Utilizar la informática para mejorar la comprensión de diversos conceptos relacionados con la representación de funciones.

Al alumno le suele motivar mucho todo lo que tenga que ver con la informática y centrándonos el programa Derive, la vamos a utilizar no sólo como una calculadora potentísima sino como un instrumento válido para mejorar los niveles de explicación-comprensión de algunos conceptos.

Para las explicaciones en clase, suponemos que se dispone de un cañón de proyecciones y un ordenador, con lo que se puede ir trabajando con las funciones y proyectándolas.

Además la inmensa mayoría de los alumnos tienen ordenador en sus casas y como el libro de texto tiene una versión de evaluación del Derive, pueden hacer ejercicios en sus casas. (En el curso donde hemos realizado la experiencia, sólo hay tres que no disponen de estas facilidades y para ellos se han habilitado otras ayudas). También se habría podido seguir el método de llevar a todos a un aula de informática en los momentos que está libre.

Trataremos tres temas: Algunas transformaciones de funciones. Concepto de derivada de una función en un punto y representación gráfica de funciones, con cálculo de los máximos, mínimos, etc.

CONOCIMIENTOS PREVIOS:

Conviene haber utilizado algún programa informático y sobre todo haber manejado algo de Derive.

Los conocimientos matemáticos previos, son los habituales de un alumno que ha aprobado 4º de la ESO

DURACIÓN:

5 clases

MEDIOS:

Un cañón de proyección y el programa informático Derive

MATERIAL PARA EL ALUMNO:

Los habituales y la posibilidad de acceder a un ordenador con derive en su casa o en algún otro sitio.

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# CONTENIDOS

## 1.- TRANSFORMACIONES DE FUNCIONES

### TRASLACIONES

a) Pasar de y = f(x) a y = f(x) + k, Traslación vertical.

Representamos la función y = x2 + 2x y le vamos sumando 2, 5, -6 etc. Obtendremos las siguientes gráficas

Repetir el mismo proceso para y = sin x y = 3x

Fácilmente se ve que lo que se va obteniendo es la misma curva trasladada hacia arriba o abajo

b) Pasar de y = f(x) a y = f(x + c) Traslación horizontal

Empezaremos por representar y = x2 -1 y en la misma gráfica y = (x-3)2 -1

Observamos que la gráfica se ha desplazado tres unidades a la derecha.

Representar y = (x+4)2 –1.

Observamos que se ha realizado una traslación de 4 unidades a la izquierda

Repetir la experiencia con las funciones y = 3x

Realizarlo ahora con la función y = sen x y=sen(x+2) y=sen(x –π/2) y=sen(x+2 π)

En este ejemplo, además de comprobar las traslaciones producidas vemos que no es el mismo resultado si x se mide en grados que si se mide en radianes. También vemos que la función coseno es la misma que la seno, pero trasladada y que el seno tiene de período 2 π

SIMETRÍAS.

a) Pasar de y = f(x) a y = f(-x). Simetría con respecto al eje y.

Empezamos por trabajar la función y=3x+2. En primer lugar hacemos una tabla con dos o tres valores y los representamos. Luego consideramos su transformada y=3(-x)+2 o lo que es lo mismo y= -3x+2 y damos los mismos valores a la x calculando y representando sus ordenadas correspondientes. Fácilmente se observa que son simétricos con respecto al eje de ordenadas. A continuación repetimos la misma experiencia con y= 2x e y=2-x que equivale a y = 1/2x e y =(1/2)x

b) Pasar de y = f(x) a y = - f(x). Simetría con respecto al eje x.

Si con las dos funciones del apartado anterior repetimos el proceso pero considerando como transformada la que se obtiene al cambiar de signo la función, obtendremos y=3x+2 e y= -(3x+2) o lo que es lo mismo y= -3x -2, que son simétricas respecto al eje de las x.

De forma análoga con y = 2x e y = -2x

NOTA: La rapidez de representación con el Derive ayuda a ver el efecto producido por los cambios que hemos ido indicando.

Esta manipulación con las funciones sirve para aprender y de paso practicar un poco con esta potente herramienta.

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#### EJERCICIOS DE AFIANCIACIÓN DE LOS CONTENIDOS

1.- Representar y=x3 -5x y = x3 -5x +3 y = x3 -5x –4

2.- Representar

Está claro que en el origen, la gráfica de una función está 3 unidades por encima de la otra, pero ¿también se diferencian en 3 unidades cuando x=0,9?

3.- Representar

e

¿Qué relación hay entre las dos gráficas?

4.- A partir de la gráfica de

dibujar a mano alzada las de

;

5.- Representar

y = cos (x) cos (x+4) y = cos (x-2) y = cos (x + π /2) y=cos (2x) y=cos(5x) y=cos (0,3 x) ;

6.- Representa y=sen (x) cuando la x se mide en radianes e y = sen(x) cuando la x se mude en grados

7.- Representar y = 4x-2 ; y= 4(-x) -2 e y = -(4x-2) tras calcular su expresión sin paréntesis.

8.- Representar

e

9.- Representar y= x2 y= - x2 e y = (-x)2

10.- Representar y = x3 y= -x3 y = (-x)3 e y = -(-x)3

## 2.- RELACIÓN ENTRE UNA LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN Y SU RECÍPROCA

Entendemos que se ha explicado por el método habitual el concepto de función recíproca de otra. Ahora vamos a abordar el tema de la relación entre sus gráficas.

Supongamos que en la función y = f(x) al número 2 le corresponde el 1 y al 4 el 3. Dibujamos la gráfica que presumiblemente tiene dicha función . Suponemos que se trata de una recta. Escribimos la tabla correspondiente a la función recíproca y representamos sus valores así como la gráfica de la nueva función. Se observa fácilmente que ambas son simétricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante. Para que quede más claro el tema se puede representar esta bisectriz, de fórmula y = x

Vamos a ver ahora algunos otros ejemplos

Representación de y = 3x +1 y su recíproca x = 3y + 1

El proceso de calcular la recíproca es muy aleccionador. Después de escribir y representar la función directa, vamos a simplificar/sustituir variable y allí cambiamos la “x” por la “y” y viceversa. En este momento escribe x = 3y +1. Ahora vamos a resolver/expresión y decimos que la variable a despejar es la y. Ahora obtenemos la recíproca: que representamos.

Vamos a representar ahora y = x3 +3 y su recíproca. Acudimos de nuevo al derive. Calculamos la recíproca y se obtiene . Representamos las dos funciones y obtenemos lo de la figura adjunta. Donde “curiosamente” la recíproca, sólo se representa para los valores positivos del radicando, pues nunca está definida la raíz real de un número negativo. NOTA: Al resolver la expresión hay que tener cuidado de pinchar la opción de campo real, pues si está seleccionada la opción de complejo obtenemos tres soluciones.

Vamos a representar y = x2 y su recíproca . Como vemos la función directa no es inyectiva, es decir hay varios puntos (2) que tienen la misma imagen y al hacer la recíproca no se sabe cual de los dos es la imagen del original. Es decir en principio, la recíproca no sabe si al cuatro le corresponde el 2 o el -2. El programa lo arregla dibujando la mitad de la figura simétrica de la inicial. Por tanto hay funciones que no tiene recíproca. O mejor dicho sólo tienen recíproca aquellas funciones que son inyectivas.

Función Exponencial y función logarítmica

Estudiamos ahora la exponencial y = 2x y calculamos su recíproca. Intercambiamos la “x” y la “y” obteniendo x = 2y y al despejar la y nos queda y = log2x, que el derive escribe 7=log(x,2), llegando de nuevo a la conocida relación entre las dos funciones.

Se pueden calcular los límites intuitivos de cada una así como el dominio de definición de la última. Ahora podemos variar la base de la función exponencial y por tanto la base del sistema de logaritmos.

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#### EJERCICIOS DE AFIANCIACIÓN DE LOS CONTENIDOS

1.- Dada la función y = x2 -3x, representarla, calcular su recíproca y representarla en los mismos ejes dibujando también la bisectriz del primer cuadrante.

2.- Dada la función , representarla, calcular su recíproca y representarla en los mismos ejes dibujando también la bisectriz del primer cuadrante.

3.- Dada la función y = log 3 x, representarla, calcular su recíproca y representarla en los mismos ejes dibujando también la bisectriz del primer cuadrante.

4.- Dada la función , representarla, calcular su recíproca y representarla en los mismos ejes dibujando también la bisectriz del primer cuadrante.

# 3. FUNCIONES CIRCULARES INVERSAS

Estas funciones desconciertan bastante a los alumnos Habitualmente las utilizan bien con las calculadoras, pues partiendo de que sen x es igual a 0,3, todos saben calcular el valor de x y a partir de él todos los demás valores de x que cumplen que su seno valga 0,3.

La representación gráfica de la función recíproca es importante en sí misma y además nos ayuda a entender con más profundidad las funciones recíprocas o inversas.

x→ sen x | sen x → x
0 | 0 | 0 |  |
30º | 0,5 | 0,5 |  |
50º | 0.7660 | 0.7660 |  |
90º |  |  |  |
120º |  |  |  |

Empezamos con una tabla de valores de la función directa. Después completamos las celdas de la derecha y observamos que dado un valor del seno, hay muchos ángulos que cumplen que su seno el el valor dado, o dicho de otra manera la recíproca es una extraña función en la que un mismo número, 0,5 tiene muchas imágenes. Para operar con la calculadora tenemos que pulsar la tecla sin -1 y no nos da m á s que una de las infinitas soluciones. La función recíproca hace corresponder a cada valor numérico, x, el del ángulo cuyo seno es ese valor. Es decir estamos construyendo y = sin -1 x o bien y = ángulo cuyo seno es x, o mejor todavía y = arco cuyo seno es x que se abrevia así y = arc sin x (en Derive y=ASIN(x) )

Su representación gráfica es la de la figura adjunta en la que se ha suprimido una gran parte de la figura simétrica para conseguir que cada punto tenga una sola imagen, la que da la calculadora. (La simétrica completa es una especie de serpiente enrollada sobre el eje “Y” y no es función)

Análogamente tenemos las gráficas de y = cos x junto con y = arc cos x y las de y = tan x junto con y = arc tan x

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#### EJERCICIOS DE AFIANCIACIÓN DE LOS CONTENIDOS

Calcular y dibujar la recíproca de y = acos x (se obtiene una pequeña parte de y = cos x)

Calcular y dibujar la recíproca de y = 5sin x

Calcular y dibujar la recíproca de y = cos(x-π/2)

Calcular y dibujar la recíproca de y = tg(x/3)

## 3.- CONCEPTO DE DERIVADA

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Aunque aparentemente es fácil, los alumnos no siempre llegan a entender el concepto geométrico de derivada de una función en un punto: La derivada es el valor de la pendiente, cuanto más grande es la derivada más rápidamente crece la función y si es negativa, decrece.

Nosotros procedemos así: Repasamos la fórmula de la ecuación de una recta determinada por dos puntos y practicamos su cálculo a partir de los puntos de la cuadrícula que aparece en el derive y que facilitan mucho el cálculo geométrico de la pendiente. Luego representamos una función como y = -x2 + 5x, elegimos un punto cualquiera como el (1,4) y ampliamos la gráfica de la función varias veces y enseguida tiene todo el aspecto de una recta. Calculamos la pendiente de esa “recta” y esa es la derivada. Si además de la pendiente calculamos la ecuación de la recta tangente y la dibujamos, veremos como se pega a la parábola y al ampliar el dibujo se identifica con ella. Lo mismo podemos hacer en otros puntos e iremos viendo como varia el valor de su derivada, cómo se hace cero e incluso cómo la pendiente se hace negativa. Posteriormente se cambia de ecuación y se hace lo mismo.

También se puede dibujar una gráfica a mano junto con su recta tangente y con el transportador calcular el ángulo que forma con el eje de las X para posteriormente calcular su tangente. (Hay que tener cuidado de tener los dos ejes con la misma escala).

Por último estimaremos a ojo las derivadas de diversas curvas en algunos de sus puntos.

#### EJERCICIOS DE AFIANCIACIÓN DE LOS CONTENIDOS

Calcular el valor de la derivada de y = x3-2x+1 en el punto x=2 por el método descrito.

Calcular el valor de la derivada de y = x2/4 en el punto x=2 por el método descrito.

Calcular el valor de la derivada de y = en el punto x=9 por el método descrito.

Calcular el valor de la derivada de y = ln x en el punto x=5 y x = 7 por el método descrito.

Imprimir la gráfica de y = , dibujar su recta tangente en x = 4 Calcular el ángulo que forma con el eje horizontal y, con la calculadora, el valor de su tangente, o lo que es lo mismo su derivada.

Lo mismo en el punto x= 2 y en x = 9

Imprimir la gráfica de , dibujar su recta tangente en x = 4 Calcular el ángulo que forma con el eje horizontal y, con la calculadora, el valor de su tangente, o lo que es lo mismo su derivada.

Lo mismo en el punto x= 2, x = -3 y en x = 9

Dibujar una curva que cumpla f(4) = 3 y f´(4) = 2

# EVALUACIÓN:

a) METODOLOGÍA DEL PROCESO DE EVALUACIÓN: PREVISIONES

Se evalúa a los alumnos en dos niveles distintos. De forma periódica los alumnos van realizando los diversos ejercicios de los cuales unos se trabajan de la forma tradicional con el papel y el bolígrafo y otros con ordenador, tendiendo que presentar los resultados sobre papel. Además conviene hacer algún tipo de examen o prueba de evaluación que se puede realizar con papel y bolígrafo.

b) RESULTADOS DE LA EVALUACIÓN

Sólo ha sido posible realizar una evaluación cualitativa, pues la parte explicada es demasiado pequeña como para realizar una evaluación específica de ella. Además como eran pocos alumnos y por otras dificultades técnicas no ha sido posible tener una población de contraste para ver la eficiencia del método.

Se ha estudiado la opinión de los alumnos y el cambio ha merecido la pena, por lo novedoso, porque rompe el ritmo de lo habitual, porque introduce la informática y porque sirve para entender mejor los conceptos. Hay un indicador externo y es que en otros apartados del programa, también ellos han utilizado el derive para resolver los problemas.

A mi modo de entender, ha merecido la pena el cambio y en especial la idea de introducir la derivada tal como está descrito, es claramente buena.

En todo caso, las mejoras pedagógicas ayudan, pero no sustituyen la labor del profesor ni la del alumno.

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Autores: Carlos López Valcárcel, Clara Aranzana Angulo, Ana Isabel Fernández Lomas, Vicente Guillén López, Elías Moreno Serrano, Fernando Robles Puente, Marta Viadas Aliende
IES Conde Diego Porcelos. Burgos