USO DEL ORDENADOR EN

LA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES (3º ESO)

Índice comentado:

0.- JUSTIFICACIÓN. objetivos

1.- REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE SISTEMAS LINEALES

A veces tenemos dos o más ecuaciones con dos incógnitas x e y de la forma ax+by=c, cuyas soluciones pueden ser representadas gráficamente obteniendo sus puntos de corte en el plano. Para ello conviene despejar una de las incógnitas generalmente “y” en función de la otra generalmente “x” y de esta forma dando valores a “x” obtenemos puntos (x,y) cuyas coordenadas son soluciones del sistema.

Aprender a despejar la y de la ecuación ax+by=c

Derive nos da la opción de representar dicha ecuación incluso sin despejar “y” su gráfica es una recta como podemos fácilmente ver.

Representar y(x).

Al representar las dos ecuaciones del sistema obtenemos dos rectas el punto de corte si existiera sería la solución del sistema puesto que sus coordenadas cumplen ambas ecuaciones

Representar las dos rectas simultáneamente y estimación gráfica del punto de corte si lo tuviera.

2. -DISCUSIÓN GRAFICA DE LAS SOLUCIONES DE UN SISTEMA LINEAL:

a) Solución única (sistema compatible determinado)

b) Sin solución (sistema incompatible)

c) Infinitas soluciones (sistema compatible indeterminado)

Comprobación interactiva de las distintas situaciones con la Hoja de Cálculo

3. –APLICACIONES

Estudio conjunto de dos funciones afines

4. – AMPLIACIÓN

4.1.- Interpretar gráficamente la solución de un sistema lineal de tres ecuaciones y dos incógnitas.

4.2.- Interpretación gráfica para sistemas no lineales: Parábolas e Hipérbolas.

5.- INDICE PRINCIPAL

CONTENIDOS

1.- REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA RECTA

1.- DESPEJAR LA “Y” DE Y(X)

1 Introduce la expresión por ejemplo 2x+3y=8 en la línea de edición de Derive:

a) Pulsa el icono (editar expresión), escribe la ecuación 2x+3y=8

b) Pulsa la tecla Intro y la ecuación aparece en la ventana de álgebra

2 Despeja y:

a. Con la expresión resaltada pulsa el icono Resolver aparacerá un menú.

b. Elige como variable solamente y.

c. Pulsa resolver

Obtendrás:

Ejercicios:

Despeja y en las siguientes ecuaciones y comprueba con Derive el resultado:

a) 3x+y = 2 c)2x-y = 0

b) -5x+2y = -1

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2. REPRESENTAR Y(X)

Vamos a representar ecuaciones lineales de dos incógnitas, veamos que obtenemos una recta

1ª Pulsamos (editar expresión) e introducimos 2x+3y=4

#1 2·x + 3·y = 4

2º Con la expresión seleccionada pulsamos ventana 2D (el icono ) y abrimos otra ventana.

3º Una vez abierta, es necesario volver a pulsar el mismo icono (pero en la ventana 2D-plot) para que se dibuje realmente la gráfica. Cada vez que se pulse el icono se redibuja la función activa en un nuevo color.

Para ver los iconos de la barra de herramientas de la ventana de gráficos 2D

Obtenemos:

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Dibuja ahora las siguientes rectas:

a) 3x-y=4

b) 2x-5y=5

Obtendrás:

ESTIMACIÓN DEL PUNTO DE CORTE

Observa que el punto de corte de las dos rectas cumple las dos ecuaciones y por tanto es la solución del sistema:

Para colocar el cursor aproximadamente en el punto de corte utiliza el icono trazar gráficas activado en la ventana ejemplo y muévete sobre la gráfica con las teclas de mover el cursor. La solución sería x = 1,123... y = -0,53877... Atrás

2.- POSIBLES CASOS EN LA REPRESENTACIÓN DE 2 RECTAS EN EL PLANO:

1.-LAS RECTAS SE CORTAN:

El caso mas frecuente es que las dos rectas se corten de manera que tienen un punto (x,y) común. Este punto concreto será solución de las dos ecuaciones, las de las dos rectas, a la vez. Y supone la solución del sistema de ecuaciones, con dos incógnitas: x e y, que decimos que forman ambas rectas.

Comprobar que se cortan no requiere resolver el sistema, simplemente después de despejar y en las dos ecuaciones según se te explicó antes, basta con comprobar que el coeficiente de las x es distinto; es decir que tienen pendientes diferentes, o que las rectas forman ángulos distintos con el eje de abscisas, con lo que necesariamente se cortan.

Veamos un ejemplo:

recta 1: 4x+2y=6

recta 2: 3x-y+2=0

I.- Pasos para su resolución (hallar el punto de corte) gráfica:

a) Podemos averiguar que las rectas se cortan si tienen distinta pendiente para ello

Introducidas las expresiones en la línea o campo de edición de derive, despejamos y en ambas como ya sabemos.

Se puede ver que tienen distinta pendiente y que por tanto se cortan.

b) Representamos las dos rectas en la ventana gráfica.

Hecho esto con las dos rectas, esté o no y despejada, tenemos como resultado:

Utiliza trazar gráficas para encontrar el punto de corte. El cursor marca: 0,1984127, 2,606061. Estas son las coordenadas del punto solución del sistema de ecuaciones que suponen las dos rectas: X = 0,1984127 e Y = 2,606061

Pero esta no es la solución exacta, ya que la hemos obtenido con mayor o menor precisión según nos hayamos aproximado con el cursor grafico al punto de corte.

II.- Pasos para su resolución algebraica:

1. Introducimos las expresiones iniciales de las rectas, sin necesidad de despejar y, con la opción: menú ppal.>Resolver>Sistema sobre 2 ecuaciones:

Puedes insertar las expresiones de las rectas seleccionadas en la ventana Álgebra, utilizando la tecla F3.

Y pulsando resolver obtenemos:

Es decir, las soluciones exactas:

X= 1/5

Y= 13/5

Que puedes expresar de forma no fraccionaria, acudiendo a la opción: menú ppal.>simplificar>aproximar o de forma más rápida pulsando el botón :

Resuelve ahora los tres siguientes sistemas primero con lápiz y papel usando el método más adecuado en cada caso y usando los tres métodos algebraicos. Después gráficamente

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2.- LAS RECTAS NO SE CORTAN:

Esta situación se presenta cuando las dos rectas son paralelas. En este caso la pendiente de ambas es la misma (es decir, que tienen el mismo coeficiente de x al despejar y) además de tener distinta ordenada en el origen.

Pero vamos a confirmarlo gráficamente. Por ejemplo dadas las rectas:

recta 1: 4x+2y=4

recta 2: 2x+y+2=0

Siguiendo los mismos pasos del ejemplo anterior obtenemos las paralelas:

Conclusión: el sistema de ecuaciones, que forman las dos rectas, no tiene solución; o lo que es lo mismo: no tienen punto de corte o son paralelas entre sí

Si lo resolvemos de forma algebraica obtenemos:

Resuelve primero con lápiz y papel y después gráficamente con derive:

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3.- LAS RECTAS SON COINCIDENTES O SISTEMAS CON INFINITAS SOLUCIONES

Esto ocurre cuando ambas rectas tienen igual pendiente y ordenada en el origen, es decir son una sola recta, la misma en los dos casos, con lo que tienen todos sus puntos comunes: los infinitos puntos que la(s) forma(n) son la solución.

Resuelve con lápiz y papel por el método más conveniente el siguiente sistema

¿Qué observas? Usa Derive para resolver el sistema gráficamente. ¿Qué ocurre con las rectas?

Resuelve los siguientes sistemas con lápiz y papel utilizando el método más adecuado para cada sistema y resuélvelos también gráficamente con Derive:

Ahora que sea derive el que los resuelva, ¿qué obtienes?

Para finalizar, puedes comprobar de forma interactiva estas 3 situaciones con la hoja de cálculo.

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Anexo: “Ayuda” para Derive

Los iconos de la barra de herramientas de la ventana de gráficos 2D permiten centrar la gráfica y hacer zoom.

| Dibujar la función activa |  | Ver mayor intervalo en los ejes = reducir la imagen
| Borrar la última función |  | Ver mayor intervalo del eje OY = reducir la imagen en vertical
| Centrar la imagen en la posición del cursor-cruz |  | Volver a la pantalla de álgebra o de expresiones
| Centrar la imagen en el origen de coordenadas |  |

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PASOS PREVIOS CON DERIVE

Haz doble clic en el icono de Derive y obtendrás la siguiente ventana:

La pantalla de Derive comprende (de arriba abajo):

· La barra de títulos

· La barra de menús

· La barra de órdenes

· La ventana de álgebra

· La barra de estado

· La barra de introducción de expresiones, también llamada línea de edición

· La barra de letras griegas y la de símbolos matemáticos.

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Autores: Carlos López Valcárcel, Clara Aranzana Angulo, Ana Isabel Fernández Lomas, Vicente Guillén López, Elías Moreno Serrano, Fernando Robles Puente, Marta Viadas Aliende
IES Conde Diego Porcelos. Burgos