Denominamos Álgebra a la rama de las matemáticas que estudia expresiones que incluyen operaciones con letras y números a las que llamamos expresiones algebraicas.

En una expresión algebraica las letras se denominan variables e incógnitas.

Nos referimos a las letras como variables cuando consideramos que pueden tomar cualquier valor. Habitualmente en el caso de funciones.

Por ejemplo, en la expresión \(\boldsymbol{2\pi r}\), \(r\) es una variable. Para cada valor de \(r\) tenemos la longitud de una circunferencia de radio \(r\) .

Nos referimos a las letras como incógnitas, cuando consideramos que solo toman valores concretos y desconocidos. Habitualmente en el caso de las ecuaciones.

Por ejemplo, en la ecuación \boldsymbol{4l=36}, la letra \(l\) es la incógnita. Su valor es desconocido, pero si resolvemos la ecuación, sabremos que l=9.

En este caso, el valor l=9 metros resuelve el problema de conocer la longitud del lado de un cuadrado cuyo perímetro son 36 metros.

Letras distintas representan magnitudes distintas. Por ejemplo, la altura y la base del rectángulo son a y b, letras distintas representando magnitudes distintas.

Pasos para traducir lenguaje usual a lenguaje algebraico a través de un ejemplo

Paso 1: Leemos despacio el enunciado.

Luis quiere completar su colección de cromos y la editorial le ofrece poder comprar los que le faltan. El precio sería 20 cts. por cada cromo y 5 € de gastos de envío. ¿Cuánto le costará completar su colección?

Paso 2: Identificamos el número desconocido.

En este caso el número desconocido es el número cromos que le faltan a Luis para terminar la colección.

Paso 3: Damos nombre a dicho número (variable o incógnita).

Llamamos \(x\) al número de cromos que le faltan a Luis para terminar la colección.

Paso 4: Leemos otra vez el enunciado y vamos traduciendo a lenguaje algebraico.

A Luis le costará \(\boldsymbol{0,20x+5}\) € terminar la colección. También lo podemos expresar como,

\[\dfrac{20x}{100}+5\]

Recuerda que a los números que multiplican a las variables les denominamos coeficientes. Como hemos visto, estos coeficientes pueden ser fracciones o decimales.

En este caso, el coeficiente es 0,20 en forma decimal o \(\dfrac{20}{100}\) en forma de fracción, y \(x\) es la variable.

Recuerda que \(\left ( \dfrac{20}{100} \right )\cdot x=\dfrac{20x}{100}\)

Monomios y polinomios

A la multiplicación de un número por una o más variables elevadas a una potencia, se le denomina monomio. Este curso solo trabajaremos con monomios en los que las variables están elevadas a exponente 1 o 0. Un polinomio es una suma de monomios.

En el ejemplo anterior, \(\boldsymbol{0,20x+5}\) es un polinomio que es suma de dos monomios. El primero es \(\boldsymbol{0,20x}\) y el segundo 5, que es lo mismo que \(5\cdot x^{0}\)

El curso pasado, utilizamos discos algebraicos, como ayuda para comprender las expresiones algebraicas y sus operaciones. Puedes seguir utilizándolos si los necesitas.

Las baldosas algebraicas también te pueden ayudar a comprender las expresiones algebraicas y la forma de hacer operaciones con ellas.

Las unidades se representan por un cuadrado que consideramos de lado una unidad. Por una lado representa \(+1\) y por el otro \(-1\).

Para representar un valor \(\boldsymbol{x}\) desconocido utilizaremos un rectángulo de altura desconocida ( \boldsymbol{x}) que por una cara representa \(x\) y por la otra \(-x\).

Para representar otro valor desconocido utilizaremos otra altura desconocida ( \(y\)). Nunca utilizaremos la misma pues, \(x\) e \(y\) representarán magnitudes distintas. Además, sus valores generalmente serán distintos.

Al igual que ocurre con los discos dar la vuelta a la baldosa es equivalente a multiplicarla por \(-1\).