POLIEDRO: Se llama poliedro a una región finita del espacio limitada por polígonos.

 Si metemos una mosca dentro de un poliedro, la mosca lo verá como una habitación, con las paredes, suelos y techos formados por polígonos, de la que no puede salir.

Vamos a partir de poliedros construidos con cartulina o con el polydron para ver cuántos polígonos, como mínimo, forman un poliedro. ¿Podemos formar un poliedro si unimos dos polígonos? ¿Y si unimos tres? ¿Con cuántos polígonos podríamos hacer un poliedro? ¿podría ser cualquier polígono o alguno en concreto?

El poliedro con el menor número de caras está formado por 4 triángulos.

Caras: son los polígonos que forman el poliedro. El poliedro de la imagen tiene 7.

Aristas: son los lados de los polígonos que forman las caras. El poliedro de la imagen tiene 15.

Vértices: son los vértices de los polígonos que forman las caras. En ellos se cortan dos o más caras. El poliedro de la imagen tiene 10.

El desarrollo plano de un poliedro es la representación en un plano de polígonos unidos por sus lados, de forma que al doblarlo se puede construir el poliedro.

En la imagen, observa el desarrollo plano (en color marrón) del poliedro (en color rojizo).

Del plano al espacio: si tenemos el desarrollo plano de un poliedro en cartulina podremos construir el poliedro doblando por los lados que comparten dos polígonos.

Del espacio al plano: podemos obtener el desarrollo plano de un poliedro construido en cartulina cortando por alguna de sus aristas hasta obtener una figura plana.

Poliedros cóncavos y convexos

Un poliedro es convexo si todos sus ángulos diedros son menores de 180  y es cóncavo si alguno de sus ángulos diedros es mayor de 180

Vamos a contar el número de caras, de aristas y de vértices de poliedros convexos y a estudiar si hay alguna relación entre ellos.

            
En cada uno de ellos, como en todos los demás poliedros convexos, existe una relación entre el número de sus caras, el de sus aristas y el de sus vértices.

En los ejemplos anteriores, prueba a sumar el número de caras con el número de vértices y observa que ocurre respecto al número de aristas. ¿Encuentras alguna relación?

TEOREMA DE EULER: En un poliedro convexo el número de caras más el número de vértices es igual al número de aristas más dos.

\[C+V=A+2\]

Un poliedro es regular si es convexo, todas sus caras son polígonos regulares iguales y en todos sus vértices concurren el mismo número de caras.

Sólo existen cinco poliedros regulares. Se denominan también sólidos platónicos en honor a Platón, filósofo griego que vivió en el siglo IV a. C. y que los asoció al fuego, al aire, al agua, a la tierra y al universo.

Para poder formar un poliedro es necesario que, en cada vértice, concurran al menos 3 polígonos que formen un ángulo triedro. Si se hacen concurrir tres hexágonos o tres heptágonos o tres octógonos, … en un vértice, no se puede obtener dicho ángulo y, por lo tanto, no se puede construir un poliedro.

No podemos construir un ángulo triedro en cada vértice

Podemos construir un ángulo triedro en cada vértice.

• Los poliedros regulares tienen por caras triángulos, cuadrados o pentágonos.

• Si, a partir de los ángulos construidos, continúas añadiendo polígonos, de forma que en cada vértice concurran el mismo número de caras, obtienes poliedros regulares.

Un poliedro es semirregular si es convexo, sus caras son polígonos regulares de dos o más tipos y en sus vértices concurre el mismo tipo de polígonos y en el mismo orden. Se llaman también arquimedianos, en honor a Arquímedes. Observa las imágenes siguientes:

Hay muchos poliedros semirregulares. Por ejemplo, el poliedro de la imagen. Se obtiene cortando un cubo y se llama cuboctaedro. Es convexo, está formado por triángulos equiláteros (8) y cuadrados (6) y en sus vértices concurren: cuadrado, triángulo, cuadrado, triángulo.