Recordemos que una ecuación de primer grado con una incógnita es una igualdad algebraica que en la que aparecen polinomios con una sola letra, habitualmente “x”, elevada a exponente 0 o exponente 1.
Sistemas de ecuaciones 2º de la ESO
Aprende y aplica
Es posible expresar una ecuación de primer grado con una incógnita en su forma reducida: \(ax+b=0, con \: a\neq 0\: y\: b\neq 0 \)
Una ecuación de primer grado con una incógnita puede tener ninguna, 1 o infinitas soluciones.
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\(2x-8=0\) Solución: \(x=4\) |
\(2x-8=2x\) No tiene solución |
\(2x-8=\frac{6x-24}{3}\) Infinitas soluciones |
Una ecuación de primer grado con dos incógnitas es una igualdad algebraica del tipo \(ax+by=c, con \: a\neq 0\: y\: b\neq 0 \) que relaciona relaciona dos valores desconocidos: \(x\) e \(y\) . Este tipo de ecuaciones reciben el nombre de ecuaciones lineales.
Una solución de esta ecuación es un par de valores, \( (x,y)\), que hacen cierta la igualdad. Una ecuación lineal tiene infinitas soluciones.
Consideremos el siguiente ejemplo: tenemos una cuerda de 8 m de longitud y con ella queremos formar un rectángulo, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo?
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Vemos que tenemos muchas opciones: 1,5 m y 2,5 m |
Pero ¿cómo podemos representarlas todas?
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Escribimos la ecuación lineal que relaciona las longitudes de la base y la altura del rectángulo con su perímetro: \(2x+2y=8\) |
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La ecuación \(x+y=4\) es equivalente a la anterior. Despejamos “\(y\)”: \(y=4-x\) Damos valores a “\(x\)” y recogemos los datos en una tabla: Si representamos estos valores en los ejes de coordenadas cartesianas, vemos que quedan alineados en una recta. |
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Cada ecuación lineal tiene una recta asociada y las coordenadas de cada uno de los puntos de esa recta representan una de las infinitas soluciones de la ecuación lineal.
Observa que para el problema propuesto solo tienen sentido las soluciones para las que \(x\) e \(y\) están comprendidas entre 0 y 4.
Para obtener diferentes soluciones de una ecuación lineal se puede despejar una de las incógnitas y dar valores a la otra. De esta forma construimos una tabla de valores. Si la representamos obtenemos puntos alineados.
Veámoslo con GeoGebra:
https://www.geogebra.org/classic/m9rfw9vp
Variando los coeficientes de primer grado de la ecuación (a y b) y el término independiente (c) podemos representar cualquier recta del plano. Así que las ecuaciones de primer grado con dos incógnitas y las rectas del plano son dos maneras de referirnos al mismo objeto matemático.
En algunos problemas no todos los puntos de la recta son soluciones.
Veamos el siguiente ejemplo:
Un alumno está preocupado por la nota de matemáticas este trimestre. En su primer examen ha sacado un 4 y todavía tiene que hacer dos exámenes más. La nota de la materia será la nota media de los tres exámenes.
a) Escribe dos posibles notas en los exámenes que le faltan para que la nota media sea un 5.
4 + __ + __
b) ¿Cuántos puntos necesitaría sumar para que la nota media fuera un 5?
___ puntos
c) Escribimos la ecuación lineal de la suma de las notas de los tres exámenes para que la nota media sea un 5
\(4 + x + y = 15\)
d) Construimos una tabla de valores para hacer la representación gráfica. Piensa en el valor más alto y más bajo que pueden tomar las variables.
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e) ¿Cuáles son las posibles soluciones en este problema?
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