Método de reducción | Sistemas de ecuaciones 2º de la ESO

MÉTODO DE REDUCCIÓN (BOCATAS Y BEBIDAS)

En este último vídeo verás cómo resolver un sistema de ecuaciones usando el MÉTODO DE REDUCCIÓN.

EJEMPLO GUIADO

En las fiestas de mi pueblo se venden por adelantado los vales para bocadillos y los vales para bebida (así se puede estimar lo que hay que comprar para el día grande). Somos un poco brutos con los bocadillos, así que solemos advertir a los de fuera que si no traen mucha hambre compartan bocadillo con otra persona. Estamos valorando comprar 3 vales de bocadillo y 5 de bebidas, que nos saldría por 22 euros; o 4 vales de bocadillo y 6 de bebidas, por 28 euros. ¿A cuánto nos sale cada tipo de vale?

A) Identifica los valores numéricos desconocidos, las incógnitas.

No conozco ni el precio del vale de bocadillo ni el precio del vale de bebida.

B) Nombra con una letra a cada una de las incógnitas, asegurándote de que son valores numéricos y precisando unidades, si fueran medidas.

\(x\)=”precio de un vale de bocadillo en €”

\(y\)=”precio de un vale de bebida en €”

C) Utiliza el lenguaje algebraico para traducir las pistas que nos dan en el enunciado:

imagen reducción

\(3x+5y=22\)

\(4x+6y=28\)

No tenemos coeficientes unitarios ni repetidos. Pero podemos:

MULTIPLICAR (o dividir) a cada ecuación por un número (también puede ser negativo) para obtener una ecuación equivalente.

Nos interesa conseguir COEFICIENTES OPUESTOS para una de las dos incógnitas. Por ejemplo, para nuestros bocadillos, coeficientes 12 en la primera ecuación y -12 en la segunda.

\(12x+20y=88\)

\(-12x-18y=-84\)

Si nuestros coeficientes son OPUESTOS y SUMAMOS las dos ecuaciones, obtenemos una tercera igualdad que también es cierta y es muy sencilla de resolver. Lo hacemos sumando los términos semejantes (es decir, bocadillos con bocadillos, bebidas con bebidas), por columnas:

\(0x+2y=4\)

\(2y=4\)

\(y=2\)

Ya sabemos que un vale de bebida cuesta 2 euros.

Como ves, al sumar nos ha desaparecido una incógnita. A esta técnica se le conoce como MÉTODO DE REDUCCIÓN.

Si conseguimos el mismo coeficiente con el mismo signo para una incógnita, ¿qué podríamos hacer para conseguir que desapareciera esa incógnita fácilmente? ¿Es imprescindible conseguir los signos opuestos?

D) Ahora podemos sustituir ese valor de y=2 en una de las ecuaciones anteriores, para averiguar lo que cuesta un vale de bocadillos (x). Por ejemplo, en la primera ecuación:

\( 3x+5y =22 \)

\( 3x+5.2=22\) \(y=2\)

\(3x+10=22\) -10

\(3x=12\) :3

\(x=4\)

E) O bien podemos empezar desde el principio para usar el método de reducción con la otra incógnita. ¿Cómo podemos transformar un 5 y un 6 en dos números opuestos, multiplicando a cada uno por un número diferente?

\(3x+5y=22\xrightarrow{\cdot 6}18x+30y=132\)

\(4x+6y=28\xrightarrow{\cdot (-5)}-20x-30y=-140\)

Sumamos las dos ecuaciones

\(-2x+0y=-8\)

\(2x=8\)

\(x=4\)

F) Respondemos a lo que nos preguntaban en el enunciado del problema:

Los vales de bocadillo cuestan 4 euros y los de bebida, 2 euros.