Un porcentaje indica una proporción entre dos magnitudes A y B (hay p% de A sobre B) que representa la cantidad de magnitud A que se corresponde con 100 unidades de magnitud B. El símbolo %, representa “por ciento”. Así, 52% se lee “52 por ciento”.

 Un porcentaje puede expresarse como tanto por ciento, 25%, como una fracción 25/100 (o utilizando la fracción irreducible 1/4) o como número decimal, 0,25.

Para calcular un porcentaje de una cantidad podemos usar varios métodos:

Método 1: Dividiendo la cantidad entre 100 y multiplicando por el porcentaje

Este método puede verse desde dos puntos de vista diferentes, dependiendo de qué significado le demos a la división de la cantidad entre 100.

Veámoslo calculando el 37% de 150.

La división de la cantidad entre 100 representa el valor correspondiente al 1% de dicha cantidad.

Como 150 representa el 100%, dividimos 150 en 100 partes, con lo que sabemos que el 1% de la cantidad es 1,5.

Como no queremos el 1%, sino el 37%, multiplicamos por 37 y obtenemos 55,5 que es el 37% de 150.

Método 2: Multiplicando por el número decimal asociado al porcentaje

30%  de 120 = 0,3 x 120 = 36

Para calcular los aumentos porcentuales podemos usar porcentajes superiores al 100%.

Un vestido que costaba 90€ ha subido un 25%, ¿cuánto cuesta actualmente?

Calculamos el 125% de 90€: \(\dfrac{125}{100} \cdot 90=1,25 \cdot 90=112,5 \text{ €}\)

 Para calcular las disminuciones porcentuales podemos hacerlo calculando directamente el porcentaje opuesto (100% - disminución%)

Una falda que costaba 45€ está rebajada un 30%. ¿Cuánto cuesta la falda?

Calculamos el 70% de 45: \(\dfrac{70}{100} \cdot 45=0,7 \cdot 45=31,5 \text{ €}\)

Después de la rebaja, la falda cuesta 31,5€.

El número decimal por el que multiplicamos para hacer un aumento o una disminución porcentual se llama también índice de variación. Este número se corresponde con  la razón o constante de proporcionalidad entre la cantidad final y la cantidad inicial. 

• Si el índice de variación es mayor que 1, la cantidad final será mayor que la cantidad inicial y estaremos hablando de un aumento porcentual.

• Si el índice de variación está entre 0 y 1, la cantidad final será menor que la cantidad inicial y estaremos hablando de una disminución porcentual.

Ejemplo 1:

En una cafetería del centro de Soria añaden un 10% a cada consumición por servirlo en la terraza. Si por tomar un café y un croissant en la terraza he pagado 5,50€, ¿Cuánto habría pagado si lo hubiese consumido en el interior de la cafetería?

En este caso, dividiríamos los 5,50€ en 110 partes, hallando que en cada parte hay 0,05€. Multiplicamos por 100 y obtenemos los 5 € que costaría mi consumición en el interior de la cafetería.

Ejemplo 2: 

En una famosa aplicación para evitar el desperdicio de comida, un supermercado vende packs con un descuento del 40% del precio original. Hoy he pagado 15€ por uno de sus packs, ¿cuánto hubiese pagado sin utilizar esta aplicación?

En este caso, dividimos los 15€ en 60 partes iguales, de forma que en cada parte hay 0,25 €. Multiplicamos por 100 y obtenemos 25€, que es lo que costaría si no hubiese usado la aplicación.

Podemos realizar varios aumentos o disminuciones porcentuales encadenados, multiplicando directamente por el índice correspondiente a cada variación.

Ejemplo:

El precio de una cazadora es de 80 euros. En las rebajas se le ha aplicado un descuento del 10%, pero necesitábamos realizar unos arreglos y sobre el precio rebajado nos han cobrado un plus del 10%. ¿Cuál es el precio final de la cazadora después de pagar los arreglos?

• Precio tras la rebaja: \(80 \cdot 0,9=72 \text{ €}\).

• Precio tras pagar los arreglos: \(72 \cdot 1,1=79,2 \text{ €}\).

Observamos numéricamente que una rebaja del 10% seguida de un aumento del 10% sobre la rebaja no supone mantener sin cambios la cantidad inicial. Seguro que puedes encontrar razonadamente una explicación para ello.

También podríamos haber realizado los cálculos en una única cuenta:

Precio tras la rebaja y los arreglos: \(80 \cdot 0,9 \cdot 1,1=79,2 \text{ €}\).

Si queremos saber la variación total, podemos multiplicar los índices de variación, obteniendo que \(0,9 \cdot 1,1=0,99 \), que corresponde a un porcentaje del 99%. Es decir, la variación total ha sido una disminución del 1%.