Ya estudiamos el curso pasado que la escala representa la razón entre la realidad y el plano o el mapa que la representa. Las medidas en el plano o mapa y las medidas en la realidad son directamente proporcionales, por lo que podemos usar una proporción para realizar cálculos.

Para calcular la escala de un plano o mapa basta con dividir una longitud real entre su correspondiente medida en el plano, expresando ambas en la misma unidad. No debemos olvidar que las unidades no aparecen en la escala, pero se utiliza la misma en ambos miembros de su expresión.

Ejemplo: Entre dos pueblos hay una distancia de 12 km. Esa misma distancia en el plano es de 5 cm.

Ponemos las dos distancias en la misma unidad, eligiendo centímetros por mayor comodidad.

• Medida real: \(12\,km=1\,200\,000\,cm\)

• Medida en el plano: \(5\,cm\)

\[ESCALA=\dfrac{\text{Medida real}}{\text{Medida en el plano}}=\dfrac{1\,200\,000\,cm}{5\,cm}\]

Podemos escribir que la escala es \(1:240\,000\)

Índice de natalidad: es la razón entre el número de nacimientos en un año y la población total expresada en miles de personas.

Índice de mortalidad: es la razón entre el número de defunciones en un año y la población total expresada en miles de personas.

Cálculos de índices de población: En el año 2021, la población de Zamora era de 168725 habitantes, nacieron 708 personas y murieron 2600. Para calcular los índices de población podemos proceder de dos maneras:

• Dividimos la cantidad de nacimientos o muertes ocurridos en un año entre el total de la población. Obtenemos así el tanto por uno. Multiplicando por 1000 tendremos el tanto por mil.

\[\text{Índice de natalidad}=\frac{\text{Nacimientos}}{\text{Población}}\cdot 1000=\frac{708}{168\,725}\cdot 1000=4,20\,\text{‰}\]

• Dividimos la cantidad de nacimientos o muertes ocurridos en un año entre la población expresada en miles de personas.

\[\text{Índice de mortalidad}=\frac{\text{Muertes}}{\text{Población en miles}}=\frac{2600}{168,725}=15,41\,\text{‰}\]

Densidad de población.  Es la razón entre la población y la extensión de un país. Se expresa habitualmente en habitantes por kilómetro cuadrado (\(hab/km^2\)) y representa, como su unidad indica, los habitantes que habría en un kilómetro cuadrado si se distribuyera uniformemente la población.

Cálculo de la densidad de población. Para calcular la densidad de población de una región o país, dividimos el número de sus habitantes entre su extensión, expresada en kilómetros cuadrados.

Ejemplo:

La provincia de Teruel tiene una población de 134 421 habitantes y una extensión de 14 809 \(km^2\).

\[\text{Densidad de población}=\frac{\text{Población}}{\text{Extensión}}=\frac{134 \,421 \text{ habitantes}}{14\,809\, km^2}=9,08\,hab/km^2\]

Ya recordamos esta ley el curso pasado. Una palanca es una máquina simple que consiste en una barra rígida situada sobre un punto de apoyo, también llamado fulcro.

En un extremo se coloca la fuerza que queremos vencer o fuerza de resistencia y en el otro extremo aplicamos la fuerza necesaria para vencerla o fuerza motriz. La distancia entre cada una de las fuerzas y el punto de apoyo se llama brazo (motor o de resistencia, según de qué fuerza se trate).

La ley de la palanca se resume en la fórmula: \(\mathbf{F_m \cdot X_m = F_r \cdot X_r}\) (el producto de la fuerza por la longitud del brazo en la que se aplica dicha fuerza se mantiene constante)

F_m: fuerza motriz          F_r: fuerza de resistencia          X_m: brazo motor         X_r: brazo de resistencia

Fíjate en que estos productos se corresponden con el producto de medios y el producto de extremos de la siguiente proporción:

\[\dfrac{F_m}{F_r}=\dfrac{X_r}{X_m}\]

Después de lo estudiado en este tema, vemos claramente que la razón entre las fuerzas y la razón entre los brazos son inversas, es decir, las fuerzas y los brazos son magnitudes inversamente proporcionales. Por eso, con una longitud fija de la palanca, cuanto más largo es el brazo motor, menos fuerza motriz tenemos que aplicar para levantar una determinada fuerza de resistencia.

 Cálculos con la ley de la palanca. Para realizar cálculos usamos directamente su fórmula.

Ejemplo:

Queremos levantar un objeto de 9 Newton de peso con una palanca de 8 metros. Si colocamos el punto de apoyo a 2 metros del objeto, ¿Qué fuerza motriz tendremos que aplicar?

Podemos observar que el brazo motor mide el triple que el brazo de resistencia, por lo que la fuerza motriz es la tercera parte de la fuerza de resistencia.

Una disolución es una mezcla homogénea de dos o más sustancias entre las que no se produce reacción química, como la sal en el agua o el azúcar en la leche. La concentración de la disolución expresa la relación entre la cantidad de soluto (sustancia que se disuelve) y la cantidad de disolución. Hay varias formas de expresar la concentración, pero en nuestro caso vamos a centrarnos en una disolución de sólido en líquido, y vamos a expresar la concentración como la razón entre la cantidad de soluto (sustancia que se disuelve) en gramos y la cantidad de disolución en litros. Tendremos por tanto la concentración expresada en gramos/litro (g/l). Ya sabes que esta razón representa los gramos de soluto que hay en un litro de disolución.

Cálculos en disoluciones usando la concentración. Para realizar cálculos en problemas podemos usar la fórmula, proporciones o simplemente el razonamiento lógico, según el tipo de problemas que nos planteen.

Ejemplo 1:

Disolvemos 20 kilos de sal en agua, obteniendo 500 litros de agua salada. Calcula la concentración de esa disolución.

Sabemos que 20 kilos de sal son 20 000 gramos. Para hallar la concentración escribimos la razón entre la cantidad de sal en gramos y los litros de disolución:

\[\text{Concentración}=\dfrac{20\,000\,g}{500\,l}=40 \, g/l\]

Ejemplo 2:

Tenemos 50 litros de agua salada, con una concentración de 3 g/l. Calcula la cantidad de sal.

Una concentración de 3 g/l significa que en un litro de disolución hay 3 gramos de sal. Como tenemos 50 litros de agua salada y 3 gramos de sal en cada litro, tendremos 50 · 3 = 150 gramos de sal.