En la situación del reto de esta idea clave, todos los rectángulos tienen un de área 24 unidades cuadradas. Al cambiar la base del rectángulo hay que cambiar también la altura para que el área sea siempre de 24 unidades cuadradas.

En la situación del reto de esta idea clave, todos los rectángulos tienen un de área 24 unidades cuadradas. Al cambiar la base del rectángulo hay que cambiar también la altura para que el área sea siempre de 24 unidades cuadradas.

¿Qué ocurre cuando multiplicamos la base por la altura de cada rectángulo?

En este caso la longitud de la base y la longitud de la altura son magnitudes inversamente proporcionales. Observamos que el producto Base · Altura, que es el Área, permanece constante.

Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando su producto permanece constante aunque varíen las cantidades.

Planteemos otro ejemplo de proporcionalidad inversa:

Si queremos almacenar 12 litros de agua en botellas del mismo tamaño, la capacidad de cada botella y el número de botellas que necesitamos son magnitudes inversamente proporcionales.

En este caso se mantiene constante el producto

Capacidad de cada botella · Numero de botellas

Y ese producto da justo 12, es decir, el número de litros que queremos almacenar.

Para estudiar las propiedades de la proporcionalidad inversa podemos plantearnos las siguientes preguntas:

• ¿Encuentras alguna relación entre las razones dadas por el número de botellas y la capacidad de cada botella?

• ¿Qué ocurre si en vez de hallar la razón anterior, que es una división, multiplicamos el número de botellas por su capacidad?

• ¿Qué ocurre con el número de botellas al disminuir la capacidad de las botellas?

• ¿Qué ocurre con el número de botellas cuando su capacidad se multiplica por 2?

• ¿Qué ocurre con la capacidad de las botellas cuando el número de botellas se divide por 4?

• Cuando la razón entre la capacidad de las botellas es , ¿cuál es la razón entre los correspondientes números de botellas?

• Cuando la razón entre la capacidad de las botellas es , ¿cuál es la razón entre los correspondientes números de botellas?

• ¿Qué relación hay entre la razón de la capacidad de las botellas y la razón del número de botellas?

Si dos magnitudes son inversamente proporcionales, al multiplicar (o dividir) la cantidad de una de ellas por un número, la cantidad de la otra queda dividida (o multiplicada) por ese mismo número. Claramente, si la capacidad de las botellas es menor, necesitaremos más botellas. Pero eso no es suficiente para comprobar que entre dos magnitudes hay una relación de proporcionalidad inversa. Vemos que el número de botellas aumenta exactamente en la misma proporción en que disminuye la capacidad de las botellas, es decir, que cuando las botellas tienen la mitad de capacidad necesitamos exactamente el doble de botellas.

Cuando cada botella tiene una capacidad de 2 litros necesitamos 6 botellas. Si multiplicamos por 6 la capacidad de las botellas, es decir, si las botellas son de 12 litros, el número de botellas se divide entre 6 y solo hará falta una botella.

Si dos magnitudes son inversamente proporcionales, la razón entre dos cantidades de la primera magnitud y la razón entre las cantidades correspondientes de la segunda son razones inversas. Tomemos, por ejemplo, la primera y la segunda columna de datos de la tabla que relaciona el número de botellas con su capacidad. Observamos que la razón entre las capacidades de las botellas y la razón entre el número de botellas son razones inversas. Por eso, si queremos escribir una proporción usando la razón entre cantidades correspondientes de cada magnitud, tendremos que invertir una de ellas.

Por supuesto, no es casualidad que el producto de medios y el producto de extremos tengan como resultado, en ambos casos, los 12 litros que queremos almacenar.