Los números decimales nos rodean. Por ejemplo, cuando buscamos en el móvil la memoria que ocupa una aplicación, 2,54GB, o cuando compramos un refresco en una tienda, 0,95€. En ambos casos, los números decimales expresan cantidades incompletas de la unidad de medida, y esto se expresa con la parte decimal. La aplicación no llega a ocupar 3GB, ni el refresco llega a costar 1€.
El número de cifras decimales con las que se expresa una cantidad depende de qué se mida o contabilice. Por ejemplo, no tiene sentido decir, “me costó 3,234558€” porque no existen monedas con las que puedas pagar esa cantidad. Lo que se hace en estos casos es redondear a las centésimas, 3,23€.
Para expresar una fracción como decimal lo único que tenemos que hacer es realizar la división del numerador entre el denominador. Cuando hacemos esta división vamos a obtener tres tipos de expresiones decimales distintas:
→ Si la división da resto cero después de haber sacado varios decimales, tenemos un decimal exacto.
\(
\dfrac{7}{4} = 1,75 \qquad
\dfrac{15}{8} = 1,875 \qquad
\dfrac{94}{25} = 3,76
\)
Estos números se caracterizan por tener un número finito de cifras decimales.
→ Si la división no es exacta después de haber sacado varios decimales, pero estos se repiten de la misma forma, justo después de la coma, tenemos un decimal periódico puro.
\(
\begin{aligned}
\dfrac{5}{9} &= 0,555\ldots \\
\dfrac{13}{3} &= 4,333\ldots \\
\dfrac{25}{11} &= 2,272727\ldots \\
\dfrac{115}{37} &= 3,108108108\ldots
\end{aligned}
\)
Estos números se caracterizan por tener un número infinito de decimales, que se repiten desde la primera cifra decimal. A la parte decimal que se repite se le llama periodo.
Para poder escribir de manera sencilla estos decimales utilizamos la notación del “arco” sobre los números del periodo.
\(
\begin{aligned}
\dfrac{5}{9} &= 0,555\ldots = 0,\overline{5} \\
\dfrac{13}{3} &= 4,333\ldots = 4,\overline{3} \\
\dfrac{25}{11} &= 2,272727\ldots = 2,\overline{27} \\
\dfrac{115}{37}&= 3,108108108\ldots = 3,\overline{108}
\end{aligned}
\)
→ Si la división no es exacta y después de la coma tenemos algunas cifras decimales que no se repiten, seguidas de otras que se repiten, entonces tenemos un decimal periódico mixto.
\(
\begin{aligned}
\dfrac{103}{30} &= 3,4333\ldots = 3,4\overline{3} \\
\dfrac{181}{180} &= 1,00555\ldots = 1,00\overline{5} \\
\dfrac{137}{110} &= 1,2454545\ldots = 1,2\overline{45}
\end{aligned}
\)
Estos números se caracterizan por tener varias cifras decimales que no se repiten, anteperiodo, seguidas de una o más cifras que se repiten indefinidamente, el periodo.
Pregunta - investigación: ¿Estos son los únicos números decimales que existen? ¿Conoces otros tipos de números decimales? Piénsalo
¿Y podremos hacer el camino contrario? Es decir, partiendo de un número decimal, ¿podremos expresarlo en forma de fracción?
(Ver los retos iniciales)
En la imagen el cubo rojo representa la unidad.
10 planchas azules forman un cubo y por tanto una plancha azul es un décima.
100 barras verdes forman un cubo y por tanto una barra verde es una céntéisma.
1000 cubos amarillos forman un cubo rojo y por tanto un cubo amarillo es una milésima.
Cada partición de la unidad divide en 10 partes la anterior.
Así la descomposición del número decimal 2,54, lo podemos representar como se muestra:
\[
2{,}54 = 2\text{ unidades} + 5\text{ décimas} + 4\text{ centésimas}
= 2 + \frac{5}{10} + \frac{4}{100}
= \frac{200}{100} + \frac{50}{100} + \frac{4}{100}
= \frac{254}{100}
\]
\[
\text{simplificado} = \frac{127}{50}
\]
En el reto B trabajamos con las fracciones con denominador 9, 99, 999, … y obtuvimos el siguiente resultado.
Así que podemos descomponer los decimales periódicos puros como la suma de la parte entera y la parte decimal periódica:
\[
2,\overline{6} = 2,666\ldots = 2 \text{ unidades} + 0,66\ldots
= 2 + 0,\overline{6}
= 2 + \frac{6}{9}
= 2 + \frac{2}{3}
= \frac{8}{3}
\]
\[
3,\overline{15} = 3,151515\ldots
= 3 \text{ unidades} + 0,1515\ldots
= 3 + 0,\overline{15}
= 3 + \frac{15}{99}
= \frac{297}{99} + \frac{15}{99}
= \frac{312}{99}
= \frac{104}{33}
\]
\[
1,\overline{314} = 1,314314\ldots
= 1 \text{ unidad} + 0,314314\ldots
= 1 + 0,\overline{314}
= 1 + \frac{314}{999}
= \frac{999}{999} + \frac{314}{999}
= \frac{1313}{999}
\]
Para hallar la fracción de un decimal periódico mixto, descomponemos el número.
decimal periódico mixto = parte entera + anteperiodo + parte decimal periódica
\[
1,2\overline{5} = 1 + 0,2 + 0,055\ldots
\]
Ya sabemos cómo escribir la fracción de un decimal exacto.
Vamos a ver cómo escribir la fracción del decimal periódico desplazado, de 0,055...
0,055... se obtiene al dividir 0,55 entre10, \[\dfrac{0,55\ldots}{10} = 0,055\ldots\]
Entonces la fracción del decimal periódico desplazado:
\[
0,055\ldots = \frac{0,55\ldots}{10}
= \frac{0,\overline{5}}{10}
= \frac{5}{9}\frac{1}{10}
= \frac{5}{90}
\]
y el decimal periódico mixto:
Dos ejemplos:
En las operaciones con números decimales, se sigue la misma jerarquía de operaciones que con naturales, enteros o fracciones:
--> Recuerda la jerarquía de operaciones:
Obra publicada con Licencia Creative Commons Reconocimiento Compartir igual 4.0