Preguntas.
A1. Transforma las siguientes unidades:
a) ¿Cuál es el volumen de una lata de refresco que contiene 330 ml de bebida?
b) Un embalse contiene \( 97 \,hm^3 \) de agua. ¿Cuál es su capacidad en litros? Si fuera agua destilada, ¿Cuál sería su masa en toneladas?
c) Un acuario tiene un volumen de \( 3\,m^3 \). ¿Cuál es su volumen en \( cm^3\)? ¿Cuántos litros de agua hacen falta para llenarlo?
A2.
A) Un paquete de 1 kg de azúcar tiene forma de prisma cuadrangular recto, de base 7 cm y 20 cm de altura. Calcula el volumen que ocupa ese kilo de azúcar y la cantidad de papel que necesitamos para hacer un paquete.
B) La empresa Dulcinea dispone de una tolva en forma de pirámide cuadrangular para rellenar los paquetes del apartado anterior. Calcula su altura, sabiendo que en ella caben diez toneladas de azúcar y que el lado de la base mide 7 m.
A3. Un reloj de arena está formado por dos conos iguales unidos por el vértice. Calcula cuánto plástico necesito para construirlo, sabiendo que el diámetro de la base de los conos es de 5 cm y la altura total del reloj es de 16 cm. ¿Qué cantidad de arena debemos colocar en uno de los conos para llenarlo hasta la mitad?
A4 . Queremos construir una carpa de circo que tiene forma de prisma recto hexagonal regular de lado 12 m y de altura 8 m. La cubierta es una pirámide de altura la mitad que el prisma. Calcula cuánta lona necesitamos para construirla. Calcula su volumen.
A5. Los globos de aire caliente ascienden debido a que el aire de su interior es menos denso que el aire exterior. Calcula el peso de un globo esférico relleno de hidrógeno, sabiendo que su diámetro es de 10 m y que la densidad del hidrógeno 0,09 kg/\( m^3 \). Si estuviera lleno de agua, ¿Cuánto pesaría? Recuerda que la densidad del agua es 1 000 kg/ \(m^3 \)
Solución A1:
A) 330 ml= 0,33 l= 0,33 dm3
B) 97 hm3= 97 000 000 000 dm3 = 97 000 000 000 l =agua destilada97 000 000 000 kg = 97 000 000 toneladas
C) 3 m3= 3 000 dm3= 3 000 000 cm3= 3 000 l de agua
Solución A2:
A)
\[A=A_{Lateral}+2 \cdot A_{Base}=4 \cdot 7^2 +2 \cdot 7 \cdot 20=476\,cm^2\]
\[V=A_{Base}\cdot \text{Altura}=7^2 \cdot 20=980\,cm^3\]
B) Del apartado anterior sabemos que 1 kg de azúcar ocupa un volumen de 980 cm3.
Por lo que 10 toneladas ocuparán 9 800 000 cm3 = 9,8 m3 que será el volumen de la tolva.
Solución A3:
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\[A_{Lateral}=\pi \cdot r \cdot g\] Como desconocemos g aplicamos el \[g^2=8^2+2,5^2 \Rightarrow g=8,38\, cm\] \[A_{Lateral}=\pi \cdot 2,5 \cdot 8,38=65,82\, cm^2\] Cantidad de plástico 131,63 cm2 |
Solución A4
La cantidad de lona será el área lateral de un prisma hexagonal (para las paredes de la carpa del circo) y el área lateral de una pirámide hexagonal para el techo.
\[\text{Área lateral prisma}=6 \cdot 12 \cdot 8=576\, m^2\]
Para calcular el área lateral de los triángulos de la pirámide necesitamos calcular la altura de cualquiera de ellos.
Podemos hacerlo de dos formas:
a) A partir del radio de la base y calcular el lado del triángulo que forma la cara lateral:
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\[L^2=4^2+12^2 \Rightarrow L=12,65\, m\] |
Altura de una de las caras: \(12,65^2=6^2+h^2 \Rightarrow L=12,65\)
Área lateral (son 6 triángulos): \(A_{Lateral}=6 \cdot \dfrac{\text{base} \cdot \text{altura}}{2}=6 \cdot \dfrac{12 \cdot 11,14}{2}=400,92\,m^2\)
b) O bien a partir de la altura de la pirámide (4 m) y la apotema de la base (que debemos calcular)
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\(12^2=ap^2+6^2 \Rightarrow ap=10,39 \,m\) |
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\(\text{Altura}=11,14\,cm\) |
Procedemos igual que en el apartado anterior.
Solución A5
El globo tiene forma esférica y el volumen de la esfera es: \(V=4/3 \pi r^3=4/3\pi 5^3=523,3\,m^3\)
Como la densidad del hidrógeno es 0,09 kg/m3, la masa del globo lleno de hidrógeno es el producto de la densidad por el volumen \(m=0,09 \cdot 523,33=47,1 \kg\) pesa el globo lleno de hidrógeno.
Si lo llenásemos de agua, como la densidad del agua es 1 kg/dm3 será de 1 000 kg por m3 y por tanto lleno de agua pesará \(\)523,33 \cdot 1000=523\,330\,kg
Por eso los globos llenos de gas flotan. Al tener menor densidad que el fluido que los contiene, mismo volumen, pero muchísimo más ligeros.